¿Qué es un espacio topológico?

Un espacio topológico es un par [matemática] (X, T) [/ matemática] donde [matemática] X [/ matemática] es un conjunto y [matemática] T [/ matemática] es una colección de subconjuntos de [matemática] X [ / math] con las siguientes propiedades:

1. El conjunto vacío y [math] X [/ math] están en [math] T [/ math].
2. [math] T [/ math] está cerrado bajo la unión establecida. Es decir, para todas [matemáticas] Y \ subseteq T [/ matemáticas], [matemáticas] \ bigcup_ {O \ en Y} O \ en T [/ matemáticas]
3. T está cerrado bajo una intersección finita. Es decir, para todas las [matemáticas] Y \ subseteq T [/ matemáticas], [matemáticas] \ bigcap_ {O \ en Y} O \ en T [/ matemáticas] finitas

Los miembros de [math] T [/ math] se denominan “conjuntos abiertos” y [math] T [/ math] se denomina “una topología de X” Un conjunto dado puede tener múltiples topologías.

Los espacios topológicos son de donde provienen las nociones más generales de “continuo” y “discreto”.

Cuando los estudiantes encuentran por primera vez esta definición, su naturaleza abstracta puede parecer desalentadora. “¿Qué son los conjuntos abiertos, entonces?” podrían preguntar. En esta configuración general, esa pregunta es al revés: un conjunto abierto es miembro de cualquier colección [math] T [/ math] que satisfaga esas propiedades. 🙂

Es decir, comenzamos con un conjunto arbitrario [matemática] X [/ matemática] y observamos alguna colección [matemática] T [/ matemática] de subconjuntos de [matemática] X [/ matemática]. Si esa colección [math] T [/ math] satisface las tres propiedades anteriores, entonces sus elementos se denominan conjuntos abiertos . A menudo, dicha colección se denomina “topología”, por lo que podríamos decir que [math] T [/ math] es una topología en [math] X [/ math].

Un conjunto dado [matemática] X [/ matemática] puede tener más de una topología. De hecho, cada conjunto tiene al menos una topología, [math] \ mathcal {P} \ left ({X} \ right) [/ math], el conjunto de potencia de [math] X [/ math]. Este es el conjunto de todos los subconjuntos de [math] X [/ math], por lo que en esta topología cada subconjunto de [math] X [/ math] es un conjunto abierto y satisface trivialmente las tres propiedades anteriores.

Definir una topología es equivalente a “elegir” qué conjuntos queremos considerar conjuntos abiertos. El único requisito es que esos conjuntos, en conjunto, satisfagan las tres propiedades anteriores.

Lo que creo que los estudiantes generalmente quieren preguntar es algo más como: “¿Por qué estas tres propiedades son las propiedades que nos importan? ¿Cómo llegó alguien a decidir que estas son las propiedades que importan y no otras?”

La topología surgió del análisis real, que en sí surgió del cálculo. En el cálculo, a menudo necesita razonar sobre no solo un punto particular [matemáticas] x \ in \ mathbb {R} [/ matemáticas], sino también un “pequeño vecindario” alrededor de ese punto. Cuando hablamos de números reales podemos definir un “vecindario alrededor de un punto” concretamente:

[matemáticas] B_r \ left (x_0 \ right) = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \,: \, \ left | x – x_0 \ right |

[math] B_r \ left (x_0 \ right) [/ math] es el conjunto de todos los puntos dentro del “radio” [math] r [/ math] de [math] x_0 [/ math] y [math] | \ cdot | [/ math] es el valor absoluto.

De hecho, la topología estándar para los números reales está definida por la siguiente propiedad: un subconjunto [matemático] U \ subseteq \ mathbb {R} [/ matemático] está abierto si y solo si para cualquier punto [matemático] x \ en U [/ math] existe [math] r> 0 [/ math] tal que [math] B_r \ left (x \ right) \ subseteq U [/ math]. En inglés, un conjunto en la línea real está abierto si algún punto en él tiene un vecindario (posiblemente muy pequeño) de puntos que lo rodea y que está contenido completamente en el conjunto. Cada punto en un conjunto abierto tiene al menos un pequeño “respiro”, por así decirlo.

Los conjuntos abiertos en la línea real encapsulan la noción de “cerca de un punto” de una manera muy concreta, pero requieren todo tipo de maquinaria adicional: necesitamos una forma de medir la distancia entre puntos y necesitamos poder sumar y restar números. No todos los juegos tienen esta maquinaria disponible.

Entonces, hay una generalización de esto llamada espacio métrico, que elimina la restricción de que los elementos subyacentes tienen una aritmética asociada. En cambio, el espacio tiene una forma general de hablar sobre la distancia entre dos puntos. En un espacio métrico general, es posible que no podamos decir cuál es la suma de dos elementos, pero podemos expresar coherentemente la idea de “todos los puntos dentro de la distancia [matemáticas] r> 0 [/ matemáticas] de algún otro punto”.

Un espacio topológico general elimina incluso esta restricción y, en su lugar, definimos un conjunto abierto en términos de sus cualidades funcionales, es decir, cualquier colección de conjuntos que satisfaga un cierto conjunto de propiedades se ha ganado el derecho de ser llamada una colección de conjuntos abiertos. Todas las cosas de las que hemos estado hablando hasta ahora han satisfecho las tres propiedades (abstractas) de un espacio topológico. Puedes comprobar si no me crees.

Entonces, esto ahora abre un mundo completamente nuevo para que exploremos. Estas son las propiedades esenciales de un espacio topológico. ¿Todos los espacios topológicos tienen las mismas propiedades que la línea real o incluso como espacios métricos? La respuesta es no, y porque la respuesta es no, nos ayuda a cristalizar qué propiedades topológicas de la línea real (y otros espacios) son consecuencias de la definición general de un espacio topológico y qué refinamiento adicional.

Por ejemplo, uno de los refinamientos más comunes se llama espacio de Hausdorff. Este es un espacio topológico donde, para dos puntos, hay dos conjuntos abiertos disjuntos que contienen cada uno de los puntos. Usando la metáfora de la sala de respiración, un espacio es Hausdorff si dos puntos tienen sus propias “salas de respiración” que no se superponen. A veces decimos que un espacio de Hausdorff es uno en el que dos puntos pueden estar “separados por vecindarios”.

Esto puede parecer “demasiado obvio” para decir o puede que se pregunte por qué alguna vez consideraríamos esos espacios tan extraños tan divorciados del “cálculo cotidiano”. Es realmente difícil imaginar lo que podríamos decir con “conjunto abierto” que no satisfaría automáticamente la propiedad de Hausdorff. Sin embargo, las topologías que no son de Hausdorff juegan un papel relevante en los modelos de relatividad general y mecánica cuántica, especialmente en situaciones extremas como los límites de los agujeros negros (que a su vez pueden considerarse de naturaleza topológica).