La teoría de la medida estudia formas de generalizar las nociones de longitud / área / volumen. Incluso en 2 dimensiones, puede que no esté claro cómo medir el área de la siguiente forma bastante moderada:
mucho menos el “área” de formas aún más extrañas en dimensiones más altas o espacios completamente diferentes.
Por ejemplo, suponga que desea medir la longitud de un libro (para que pueda tener una buena idea de cuánto tiempo lleva leer). ¿Qué es una buena medida? Una posibilidad es medir la longitud de un libro en páginas . Dado que los libros proporcionan recuentos de páginas, esta es una medida bastante fácil de obtener. Sin embargo, las diferentes versiones del mismo libro (por ejemplo, las versiones de tapa dura y rústica) tienden a tener diferentes recuentos de páginas, por lo que esta medida de página no satisface la buena propiedad de la invariancia de versión (que nos gustaría tener, ya que las versiones de tapa dura y rústica del mismo libro toma el mismo tiempo para leer). Además, no todos los libros tienen recuento de páginas (piense en los libros Kindle), por lo que esta medida no nos permite medir la longitud de todos los libros que queremos leer.
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Otra medida, posiblemente mejor, es medir la longitud de un libro en términos de la cantidad de palabras que contiene. Ahora tenemos invariancia de versión (las versiones de tapa dura y rústica contienen la misma cantidad de palabras) y también podemos medir la longitud de los libros Kindle. Incluso podemos hacer cosas como agregar dos libros juntos, y la medida / número de palabras de los libros concatenados será agradablemente igual a la suma de las medidas / número de palabras de cada libro solo.
Sin embargo, ¿qué sucede cuando tratamos de medir la longitud de un libro ilustrado en palabras? No podemos, los libros ilustrados son demasiado patológicos. Tal vez podríamos decir que un libro ilustrado tiene medida cero (dado que un libro ilustrado no tiene palabras), pero luego obtenemos cosas infelices como libros de medida cero que tardan mucho tiempo en leerse (imagine un libro ilustrado realmente largo). Entonces, tal vez una mejor opción es decir que los libros ilustrados son simplemente inconmensurables . Cada vez que alguien pregunta por la longitud de un libro ilustrado, los ignoramos, y de esta manera nuestra medida seguirá siendo una buena aproximación del tiempo de lectura y también podremos mantener nuestras otras propiedades agradables.
Del mismo modo, la teoría de la medida hace preguntas como:
- ¿Cómo definimos una medida en nuestro espacio? (La medida de Jordan y la medida de Lebesgue son dos opciones diferentes en el espacio euclidiano).
- ¿Qué propiedades satisface nuestra medida? (Por ejemplo, ¿satisface la invariancia traslacional, la invariancia rotacional, la aditividad?)
- ¿Qué objetos son medibles / qué objetos podemos decir que está bien no medir para preservar buenas propiedades de nuestra medida? (La bola de Banach-Tarski se puede volver a montar rígidamente en dos copias de la misma forma y tamaño que el original, por lo que no queremos que sea medible, ya que perderíamos propiedades de aditividad).
Y una vez que hemos definido un “área generalizada” (nuestra medida), también podemos intentar generalizar otros conceptos matemáticos. Por ejemplo, recuerde que la integral (Riemann) que aprende en el cálculo mide el área bajo una curva. ¿Qué sucede si reemplazamos el “área” en la integral de Riemann con nuestra nueva medida generalizada (por ejemplo, para obtener la integral de Lebesgue)? La teoría de la medida también ayuda a hacer ciertas afirmaciones de probabilidad matemáticamente precisas (por ejemplo, podemos decir exactamente lo que significa que una moneda justa lanzada infinitamente a menudo “casi nunca” aterrizará cara más del 50% del tiempo).
