Deje que [math] \ Omega [/ math] sea su espacio de medida y [math] \ mu [/ math] la medida correspondiente. Dado que [math] \ sigma [/ math] es finito, existen conjuntos [math] K_1, \ dots, K_n, \ dots [/ math] de manera que
[matemáticas] \ Omega = \ bigcup_ {n = 1} ^ \ infty K_n [/ matemáticas]
tal que cada [matemática] K_n [/ matemática] tiene una medida finita, [matemática] \ mu (K_n) 0 [/ matemáticas], y considere los conjuntos
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[matemáticas] C_n = B \ cap K_n [/ matemáticas]
Entonces [math] C_n \ subseteq B [/ math] para todos [math] n [/ math], y cada [math] C_n [/ math] tiene una medida finita porque
[matemáticas] C_n \ subseteq K_n \ implica \ mu (C_n) \ leq \ mu (K_n) <\ infty [/ math]
Pero no todos los [math] C_n [/ math] pueden tener una medida cero porque si ese fuera el caso
[matemáticas] 0 <\ mu (B) = \ mu \ left (\ bigcup_ {n = 1} ^ \ infty C_n \ right) \ leq \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ mu (C_n) = 0 [ /matemáticas]
[matemáticas] \ implica 0 <0 [/ matemáticas]
Entonces, existe un número natural [matemática] N [/ matemática] tal que [matemática] \ mu (C_N)> 0 [/ matemática]. Tome [math] C = C_N [/ math] y listo.
