Puede considerar su expresión como un polinomio cuadrático [matemático] P [/ matemático] que desconocido es [matemático] b [/ matemático] como este
[matemáticas] P (b) = 2ab ^ 2 – (3a-1) b – 2a-2 [/ matemáticas]
Por lo tanto, solo necesita factorizar este polinomio para obtener lo que desea. Incluso puede cambiar el nombre de lo desconocido a [matemáticas] “x” [/ matemáticas] si se siente más cómodo con eso. Solo tendrá que volver a cambiar el nombre a [matemáticas] “b” [/ matemáticas] al final.
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Hay muy pocos valores para los cuales el siguiente procedimiento no sería válido. En realidad, el único valor es cuando [matemática] a = 0 [/ matemática] porque en ese caso, [matemática] P [/ matemática] no es cuadrática. Entonces supongo que [math] a \ neq 0 [/ math].
Entonces procedamos …
Puedes notar que [math] b = 2 [/ math] es una raíz. Entonces la segunda raíz [math] b ^ {\ prime} [/ math] es tal que [math] b + b ^ {\ prime} = \ dfrac {3a-1} {2a} [/ math] (fórmulas de Vieta – Wikipedia)
Entonces [matemáticas] b ^ {\ prime} = – \ dfrac {a + 1} {2a} [/ matemáticas]
y tenemos
[matemáticas] P (b) = 2a (b – 2) (b + \ dfrac {a + 1} {2a}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (b-2) (2ab + a + 1) [/ matemáticas]
cual es la solución que diste
Si no notó que [math] 2 [/ math] es una raíz obvia para este polinomio, aún podría resolver el problema de la siguiente manera
[matemáticas] \ dfrac {1} {2a} P (b) = b ^ 2 – \ dfrac {(3a-1)} {2a} b – \ dfrac {a + 1} {a} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ left (b – \ dfrac {(3a-1)} {4a} \ right) ^ 2 – \ left (\ dfrac {(3a-1) ^ 2} {16a ^ 2} + \ dfrac { a + 1} {a} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ left (b – \ dfrac {(3a-1)} {4a} \ right) ^ 2 – \ dfrac {9a ^ 2-6a + 1 + 16a ^ 2 + 16a} {16a ^ 2} [ /matemáticas]
[matemáticas] = \ left (b – \ dfrac {(3a-1)} {4a} \ right) ^ 2 – \ dfrac {25a ^ 2 + 10a + 1} {16a ^ 2} [/ math]
[matemáticas] = \ left (b – \ dfrac {(3a-1)} {4a} \ right) ^ 2 – \ left (\ dfrac {(5a + 1)} {4a} \ right) ^ 2 [/ math ]
[matemáticas] = \ left (b – \ dfrac {(3a-1)} {4a} – \ dfrac {(5a + 1)} {4a} \ right) \ left (b – \ dfrac {(3a-1) } {4a} + \ dfrac {(5a + 1)} {4a} \ right) [/ math]
Entonces [matemáticas] \ dfrac {1} {2a} P (b) = \ left (b – 2 \ right) \ left (b + \ dfrac {(a + 1)} {2a} \ right) [/ math]
Y finalmente
[matemáticas] P (b) = (b-2) (2ab + a + 1) [/ matemáticas]
