Para responder directamente a la pregunta, no, los agujeros azules que significan pequeños tiempos de escape no son fractales. Básicamente son preimágenes para un número finito [matemático] n [/ matemático] del límite de la región de escape. Si bien esta es seguramente una función racional complicada de grado excepcionalmente grande, estas regiones tendrán un límite localmente uniforme.
Sin embargo , el conjunto de todos los puntos que nunca escapan en la iteración de esta función ‘probablemente’ define ‘algo’ con ‘propiedades’ de ‘fractal-ish’. La propiedad importante es la autosimilitud. Eso es un montón de exenciones de responsabilidad, y esta pregunta es lo suficientemente interesante como para querer ir y dibujar algunas buenas imágenes para ver si estas ideas se mantienen. Pero están sucediendo muchas cosas aquí, y vale la pena profundizar.
Escribamos la iteración como [math] z \ to f (z, c) [/ math], y mantendremos [math] c [/ math] como parámetro (que podríamos cambiar más adelante). Una cosa obvia que podría preocuparnos es que [math] f [/ math] tiene un par de singularidades en el espacio z, específicamente donde [math] z ^ 2-c [/ math] es igual a cero; los puntos suelen tener dos imágenes previas (es decir, si le doy una [matemática] z_0 [/ matemática] normalmente hay dos soluciones para [matemática] z_0 = f (z) [/ matemática]); y también hay típicamente tres puntos fijos, donde [matemáticas] z = f (z) [/ matemáticas].
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Comienza a cavar. Primero, las singularidades. Considere el conjunto de puntos en el plano complejo para el que la iteración nunca visita una singularidad. Es probable que los puntos fijos en el conjunto, por lo que ese conjunto no está vacío. Llamemos a eso S.
Ahora los puntos fijos. No puedo estar seguro, y tendrá que mirar [matemáticas] \ | f ‘(z) \ | [/ matemáticas] en la vecindad de los puntos fijos, pero algunos de estos podrían ser cuencas de atracción. Si el punto es un atractor, entonces, una vez que la iteración se acerca a una cuenca lo suficientemente cerca, las iteraciones convergen a ese punto fijo. Llamemos a esas cuencas B1, B2, B3. También son subconjuntos disjuntos de S. Pueden, o no, particionar S por completo. Y, juego de palabras, sus límites pueden ser “extraños”.
¿Qué pasa con esas dos preimágenes? Lo que estamos diciendo es que cualquier región pequeña del espacio es en realidad la imagen de dos áreas diferentes bajo la aplicación del mapeo [math] z \ to f (z) [/ math]. Ahora estamos comenzando a obtener algo que suena como ‘fractales’ aquí: estamos diciendo que, al menos de alguna manera, que un área de espacio es similar a las dos preimágenes. Si hay un ‘detalle’, se repite de manera similar en otras partes del conjunto.
Lo que podemos decir es que los conjuntos S, B1, B2, B3, como límites de iteración infinita, son auto-similares bajo la aplicación de f. Intuitivamente, si pudiéramos obtener alguno de estos conjuntos y aplicarles f, obtendríamos el mismo conjunto. La autosimilitud es un aspecto definitorio de los fractales, pero no sería suficiente. (Un círculo es auto-similar bajo rotación, pero sería difícil decir que es un fractal. Tampoco sería muy emocionante si estos conjuntos resultaran estar vacíos, o la totalidad del espacio bidimensional). Una definición estricta de lo que es un fractal, eso es difícil. Mandelbrot calificó fractales de auto-similitud muy subjetivamente. ‘Hermosa, malditamente dura, cada vez más útil’. Quizás lo que hay aquí se ajusta a la descripción, y mirarlo podría ser la primera prueba.
Sin embargo, por analogía, espero que esos conjuntos de límites sean realmente fractales en este caso. Es muy similar al fractal de Newton para las raíces cúbicas de 1 (ver http://www.mitchr.me/SS/newton/), tenemos la misma configuración aquí, singularidades, tres cuencas de atracción. Los resultados en el caso de Newton son indudablemente fractales: una de las muchas peculiaridades es que, si B1 y B2 se encuentran en algún momento, también lo hace B3, lo que nos obliga a tener un límite de atractor muy extraño. Y en cuanto a [math] c [/ math], sus resultados serán muy sensibles a eso. Si tienes más fotos, ¡me encantaría verlas!
