La categoría Lusternik-Schnirelman se utiliza de diversas maneras en matemáticas y estadísticas aplicadas. Por el momento, la mayoría de estas aplicaciones son especulativas, pero hay una gran cantidad de investigación sobre cómo usarlas. Veamos un par de aplicaciones.
Intuitivamente, uno puede pensar en esta categoría como el conjunto de particiones en un espacio topológico [matemáticas] X [/ matemáticas]. En estadística, conocer la partición de un espacio topológico es bastante útil, porque le dice cómo separar los datos (o tal vez su espacio de estado, especialmente si tiene un proceso de Markov) en contenedores como “importante” y “sin importancia”. En particular, los métodos de punto de cambio (por ejemplo, a través de estimadores de partición de producto [1]) dependen de cómo elige una partición de sus datos. Los métodos de punto de cambio toman datos con “estructura desconocida” e intentan determinar cuándo ocurre un evento, basándose en datos locales. Estos se utilizan para el análisis de series temporales en finanzas, física de partículas (piense en muchos datos que no están estructurados) y modelado de proteínas. Para una buena descripción de esta categoría y estadísticas, ver [2].
Otra cosa es que esta categoría es útil para reducir el espacio de soluciones de ecuaciones diferenciales. En [3] se encuentra una versión abstracta de dicha reducción (para una ecuación de Schrödinger no lineal [por ejemplo, un Hamiltoniano de partículas libres con un potencial de interacción]). Esto parece un poco abstracto y un poco exagerado para las matemáticas aplicadas. Sin embargo, varios matemáticos aplicados como Robert Ghrist y Michael Farber han estado tratando de tomar la estrecha relación entre esta categoría y los sistemas dinámicos y aplicarla a un sistema real. La idea es que las particiones pueden ayudar a clasificar los conjuntos recurrentes de un sistema dinámico. Es decir, si tengo un sistema que no obedece a la hipótesis del ergodismo medio, estos conjuntos sirven (aproximadamente) como los “lugares en fase que el sistema visita más de una vez [y posiblemente infinitamente muchas veces]”. Ver [4] para más información
- ¿Es infinito ^ infinito contable o incontable infinito?
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Además, he oído hablar de informáticos que usan la teoría de categorías para definir formalmente el concepto matemático de la programación orientada a objetos. Sin embargo, sé poco sobre CS teórica, así que no puedo comentar mucho sobre esto. Consulte [5] para obtener una descripción más completa.
Actualización : estaba examinando al azar la literatura de computación cuántica (wow, Kitaev es un jugador de ballet) y descubrí que hay ciertas categorías que resultan útiles en la computación cuántica topológica. Como ahora estamos llegando al punto en que podría ser posible un TQC basado en anyon de estado sólido, esto resulta ser potencialmente útil.
Para demostrar que una computadora cuántica topológica tiene la misma potencia computacional que una computadora cuántica ‘estándar’ (RMN, átomo frío, cavidad QED), debemos descubrir cómo a) describir un modelo de computación (por ejemplo, máquina de Turing, máquina de registro , circuito) que describe la computación cuántica yb) descubre cómo simular una máquina de este tipo utilizando anyons.
La prueba de Kitaev, Freedman y Wang intenta demostrar la equivalencia al modelo de circuito. Esto implica probar a) que cualquier persona puede simular una puerta cuántica yb) que podemos combinar cualquier persona para simular una secuencia de puertas.
La prueba [6] es bastante complicada y aunque ha habido algunas simplificaciones, todavía es un poco extraño de digerir. Aquí están las categorías en juego
- Superficies de Riemann : la hoja del mundo de un anyon es muy similar a la de una cadena y, dado que nos interesan las teorías de campo conforme en esta hoja, nos preocupamos implícitamente por las Superficies de Riemann y sus espacios de módulo
- Categorías Tensoriales Modulares – Efectivamente, necesitamos algún tipo de forma de construir representaciones del grupo de trenzas (reglas de fusión). Dado que una sola representación [matemática] 2 \ veces 2 [/ matemática] del grupo unitario corresponderá a una única puerta y dado que cualquier persona realiza transformaciones unitarias a través del trenzado, estas categorías nos dan el espacio correspondiente para representar la acción del grupo trenzado en el conjunto de transformaciones unitarias [7]
- Transformaciones unitarias en un espacio de Hilbert de dimensión finita : las principales herramientas del modelo de circuito (¡y QM!)
(Sí, Alon, Sridhar y Dan, ¡hay un uso práctico de la teoría de categorías que no tiene que ver con los lenguajes de programación! Especialmente porque hay evidencia de que dopajes extraños de silicio pueden realizar cualquier cosa y parece que podríamos en realidad construir una de estas cosas …)
[1] http://www.jstor.org/pss/2242159
[2] http://www.math.upenn.edu/~ghris…
[3] http://www.springerlink.com/cont…
[4] http://books.google.com/books?hl…
[5] http://www.cwru.edu/artsci/math/…
[6] [quant-ph / 0001071] Simulación de teorías de campo topológicas por computadoras cuánticas
[7] Kitaev, et. Utilice los axiomas de la teoría del campo conforme de Segal y Atiyah para clasificar el argumento de la física de que el modelo de circuito es equivalente al TQC. Vea la página en Caltech para una lectura más accesible
