¿Puedo obtener una explicación intuitiva de los manifiestos (concepto matemático)?

Piense en la superficie de una hoja [estática, inmóvil]: potencialmente ondulada y ondulada, pero finalmente bidimensional.

Una variedad es así, generalmente hablando, excepto (1) no necesariamente bidimensional, específicamente (por lo que puede ser una curva o un “espacio tridimensional estirado” o cualquier otra cantidad de cosas); (2) con un poco menos de estructura (a menos que esté hablando de una variedad Riemanniana , no tiene una noción adecuada de distancia, por ejemplo); y (3) sin necesariamente la necesidad de integrarse en un espacio más grande. Yendo punto por punto, con más detalle:

1. Debería explicarse por sí mismo. Una superficie es un múltiple de 2-d, pero puede tener múltiples de 1-d (curvas) o múltiples de 3-d (piense en un parche de espacio, pero “estirado” de alguna manera, y con más posibilidades que son más difíciles de imaginar) .
2. Básicamente, los matemáticos quieren considerar la menor cantidad posible de “reglas”, y luego construir su camino hacia más de ellas, para que sepan exactamente con qué pueden salirse con la suya bajo cualquier número de reglas. Por lo tanto, un “múltiple” en sí mismo tiene menos reglas de lo que cabría esperar, ya que esencialmente puede estirarlo a su gusto [se clasifican según el difeomorfismo , que básicamente significa “estiramiento suave”]. Sin embargo, puede agregar más reglas (axiomas) para que estén más en línea con la intuición. (Una variedad riemanniana podría estar más cerca de su intuición imaginada basada en lo anterior, posiblemente con alguna combinación de orientable / compacto / posiblemente con límite dependiendo de qué, exactamente, está pensando).
3. No estoy seguro de poder describirlo adecuadamente si no estás acostumbrado a pensar en diferentes números de dimensiones. La mejor manera de resumir en pocas palabras que se me ocurrió es: “¿Qué reglas tiene que seguir algo” pegado “a la superficie? Ahora, haga algo que siga esas reglas en la misma superficie, pero quite el espacio que lo rodea, solo deje las reglas ”. Entonces: no necesita referirse al espacio circundante para referirse al múltiple en sí; solo necesita saber qué “reglas” debe seguir la variedad.

En términos de la definición formal de una variedad, creo que la mejor imagen es una colcha de retazos, con parches superpuestos.

Supongamos que comienza con una sola hoja de tela [arbitrariamente elástica]. No hay forma de convertirlo en una esfera sin superponerse. Sin embargo, puede tomar varias piezas superpuestas entre sí (¡pero no con ellas mismas!) Suavemente, y hacer una esfera, o cualquier otra superficie, con ellas.

Una “variedad”, formalmente hablando, es la generalización de eso: tomas parches elásticos de la superficie ordinaria (“tela elástica”), o curva (“cuerda elástica”), o espacio (“volúmenes de goma elástica”), o más alto- espacios dimensionales y juntarlos para que se superpongan entre sí (pero no con ellos mismos). El múltiple es el ensamblaje de estos parches, como una colcha.

Luego, para calcular, siempre se calcula en un solo “parche”. Sin embargo, la clave es: las únicas preguntas que se le “permite” hacer son aquellas a las que no les importa en qué parche está cuando las calcula en el área donde se superponen los dos parches (suponiendo que sepa cómo convertir de un parche a otro). Esta es una restricción clave que limita lo que “puedes hablar” en geometría. *

* Digresión: técnicamente, hay conceptos análogos en álgebra, etc. La noción de lo que “puedes hablar” conduce naturalmente a las matemáticas de la teoría de categorías .

A menos que pertenezcas a la Flat Earth Society, sabes que la Tierra es un gran elipsoide (o incluso una pelota, aproximadamente). Por otro lado, no puede detectar este fenómeno desde su perspectiva porque localmente la Tierra se ve bastante plana (es decir, se ve como una pieza del plano [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math]).

Y esta es la idea detrás de la noción de un múltiple: es un espacio en el que cada punto puede estar dotado de un gráfico de coordenadas que le dice que la vecindad de este punto parece una pieza de un espacio euclidiano (posiblemente muy dimensional) .

Para especificar la ubicación de un punto en una superficie, necesitamos un sistema de coordenadas. (Piense, por ejemplo, paralelos y meridianos en el globo).

Tal sistema de coordenadas no necesita (y, a menudo, no puede) cubrir toda la superficie, solo el entorno local que contiene el punto de interés. Pero luego, si tenemos dos de esos entornos locales que se superponen, necesitamos una forma de convertir el sistema de coordenadas de un entorno local al del otro entorno local.

Un múltiple, más simple, es un espacio topológico que localmente se parece a alguna forma de espacio euclidiano. Un buen ejemplo es una esfera incrustada en tres espacios: tome un parche de la esfera y compárelo con un parche plano de dos espacios: se ven muy similares, en el sentido de que el parche de la esfera parece una versión deformada de El parche plano. De hecho, los matemáticos tienen una forma de relacionar estos dos parches a través de estructuras abstractas, pero no iré tan lejos.

Toma una forma y cúbrela con una manta. Aproximadamente has creado una variedad.