¿Cómo encuentras límite? [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {\ sqrt [4] n} \ left (1+ \ frac {1} {\ sqrt [4] 2} + \ cdots + \ frac {1} {\ sqrt [4] n} \ right) [/ math]
Como ya se ha señalado, esto es divergente. Específicamente, si dejamos que [math] a_n = \ displaystyle1 + \ frac {1} {\ sqrt [4] 2} + \ cdots + \ frac {1} {\ sqrt [4] n} [/ math] y [math] b_n = a_n / \ sqrt [4] n [/ math], entonces podemos mostrar que para n grande,
[matemáticas] b_n \ approx \ dfrac {4 \ sqrt {n}} {3} \ tag {1} [/ matemáticas]
- Si [math] (a, b) [/ math] es un punto crítico en [math] F (x, y) [/ math], ¿por qué [math] (a, b) [/ math] también es un punto crítico? en [matemáticas] G (x, y) = (F (x, y)) ^ 6 [/ matemáticas]? ¿Es [matemática] (a, b) [/ matemática] un punto crítico para todos [matemática] G (x, y) = (F (x, y)) ^ n [/ matemática] donde [matemática] n [/ matemática ] ¿incluso?
- Newton primero consolidó lo que hoy conocemos como cálculo moderno, una rama de las matemáticas que revolucionó todos los aspectos de las matemáticas y las ciencias. Pregunta: ¿Cuál, si de hecho existe, será el próximo cálculo?
- ¿Puedes encontrar manualmente la raíz de un número al dígito?
- ¿Qué tan útil es leer la historia de las matemáticas a un investigador de matemáticas?
- ¿Es el espacio L2 un subespacio del espacio de Hilbert?
Para probar esto, primero tenga en cuenta que
[matemáticas] a_n-1 <\ int_1 ^ nx ^ {- 1/4} dx = \ frac {4} {3} \ left (n ^ {3/4} -1 \ right) <a_ {n-1} \ tag {2} [/ math]
La siguiente ilustración muestra (para [matemática] n = 8 [/ matemática]) por qué esto es cierto: la curva negra es el gráfico de la función [matemática] f (x) = x ^ {- 1/4} [/ matemática ], el área total de los siete rectángulos morados es igual a [matemática] a_8-1 [/ matemática], y las siete áreas de rectángulo rojo se suman a [matemática] a_7 [/ matemática].
De (2) podemos concluir que
[matemáticas] \ begin {align *} \ qquad \ frac {4} {3} \ left ((n + 1) ^ {3/4} -1 \ right) & <a_n <\ frac {4} {3} \ left (n ^ {3/4} -1 \ right) +1 \\\ dfrac {4 (n + 1) ^ {3/4} -4} {3} & <a_n <\ dfrac {4n ^ { 3/4} -1} {3} \\\ dfrac {4 (n + 1) ^ {3/4} -4} {3n ^ {1/4}} y <b_n <\ dfrac {4n ^ {3 / 4} -1} {3n ^ {1/4}} \\ \ end {align *} [/ math]
La fórmula (1) anterior se deriva de la desigualdad final. También podemos obtener aproximaciones ligeramente mejores de esa desigualdad, como [math] b_n \ approx \ dfrac {4 \ sqrt {n}} {3} – \ dfrac {2} {3 \ sqrt [4] n} [/ math ]
