¿Por qué interpretamos frecuencias en seno y coseno y no ondas cuadradas?

Ciertamente podemos usar ondas cuadradas, esto se llama la transformación de Walsh-Hadamard, y es un proceso importante y útil.

Sin embargo, hay muchas razones por las cuales se prefiere la base trigonométrica para muchas aplicaciones.

Las funciones trigonométricas son suaves (diferenciables cualquier número de veces) y, de hecho, analíticas (representables por una serie de potencias convergentes). Las ondas cuadradas ni siquiera son continuas. Para aplicaciones en ecuaciones diferenciales, por ejemplo, esto hace que la primera sea mucho más preferible (esta fue la motivación original de Fourier para desarrollar la técnica). Las funciones trigonométricas satisfacen ecuaciones diferenciales muy simples y naturales.

Desde un punto de vista físico, las funciones trigonométricas describen la dinámica de los osciladores armónicos simples. Por lo tanto, son adecuados para comprender los procesos físicos, mecánicos y eléctricos. Escuchamos porque los elementos dentro de nuestros oídos vibran en respuesta al movimiento del aire, y estos elementos oscilan aproximadamente armónicamente (siguiendo una curva sinusoidal). Por lo tanto, las frecuencias armónicas son mucho más relevantes para comprender el sonido y la música que las “frecuencias cuadradas”. Nada en nuestro cuerpo, o en el mundo físico en general, salta como una onda cuadrada.

(Por supuesto, los sistemas digitales son diferentes, por eso la transformación de Walsh es tan útil en el procesamiento de señales digitales).

Debido a que la Ley de Newton relaciona la fuerza con la segunda derivada de la posición, muchos sistemas se describen en la forma Af (x, t) = g, donde f es una función de posición y tiempo y A depende del tiempo y g es típicamente algo así como una fuerza externa y a menudo es cero. Para el movimiento sobre el equilibrio y no demasiado grande f, los términos no lineales son pequeños y para muchos propósitos la ecuación se puede considerar lineal en f. Entonces f puede escribirse como una serie en términos de funciones espaciales X y funciones de tiempo T. Las funciones de tiempo son exponenciales complejas que están muy relacionadas con las funciones seno y coseno. En el caso muy común donde A es de segundo orden en el tiempo (es común porque muchas ecuaciones fundamentales de la física son de segundo orden en el tiempo), surgen los senos y cosenos del tiempo. Esto se presta bastante bien para describir sistemas bastante complejos naturalmente en senos y cosenos (exponenciales de argumentos imaginarios). Las frecuencias propias corresponden a las frecuencias naturales del sistema, movimientos que se componen de una frecuencia pura y única. Incluso cuando hay un término forzado y las frecuencias no son puras, la situación se presta naturalmente a series de Fourier o integrales de Fourier.

La función espacial es generalmente más compleja. Puede estar familiarizado con Legendre, Bessel y otras funciones que son más útiles que los senos y cosenos. Sin embargo, incluso aquí, cuando las “coordenadas naturales” de la geometría del problema son rectangulares, la forma natural de la solución es la forma exponencial compleja y, nuevamente, muy a menudo senos y cosenos.

Si el operador A depende del tiempo o no es lineal, los problemas se vuelven mucho más complejos. Sin embargo, para las soluciones analíticas, el caso lineal y, por lo tanto, el seno, las soluciones de coseno son una aproximación inicial útil. Pero mientras que las soluciones abundan en el caso lineal, son raras para los sistemas no lineales. Donde se encuentran ocasionalmente involucran senos y cosenos. Cuando las soluciones analíticas son difíciles o no están disponibles, el enfoque geométrico cualitativo alternativo iniciado por Henri Poincare puede ser útil.

Por lo tanto, los senos y cosenos son naturales en ciertos sistemas de “naturaleza”, pero ciertamente no en todos. Las ondas cuadradas no son naturales en este sentido a pesar de que tienen aplicación en otros lugares.

Sí, el teorema wavelet hizo exactamente eso y, además de la forma de onda cuadrada, en realidad puedes encontrar un número infinito de bases.

Pero lo creas o no, el seno y el coseno siguen siendo la mejor base en muchos sentidos.

El movimiento circular es uno de los componentes básicos del Univere, que surge en muchos fenómenos naturales. La función seno es la proyección de un movimiento circular sobre un plano.