Primero use la separación de variables [matemática] u (x, t) = f (x) g (t) [/ matemática] y luego la ecuación de calor se convierte en [matemática] fg ‘= f”g [/ matemática] (con descuidado anotaciones). Divide ambos lados entre [math] fg [/ math] de modo que [math] \ frac {g ‘} {g} = \ frac {f’ ‘} {f}. [/ Math] Dado que los lados de la mano derecha solo dependen de xy el lado izquierdo depende solo de t, concluimos que ambos lados de la ecuación son constantes. Por lo tanto, [matemática] \ frac {g ‘} {g} = \ frac {f’ ‘} {f} = – k ^ 2. [/ Matemática]
Primero resolvamos la ecuación en f: [matemáticas] f ” = – k ^ 2f [/ matemáticas]. La solución general puede escribirse como [matemáticas] f = Asin [k (x + 1)] + Bcos [k (x + 1)]. [/ Matemáticas]
El uso de la condición límite en x = -1 produce [matemática] 0 = B [/ matemática]. El uso de la condición de límite en x = 1 produce [matemática] 0 = Asin [2k]. [/ Matemática] Esto significa que [matemática] 2k = \ pi n [/ matemática] para algún número entero [matemática] n [/ matemática]. La solución es una superposición de todos estos valores de n:
[matemáticas] u (t, x) = \ sum_n A_n e ^ {- \ left (\ frac {\ pi n} {2} \ right) ^ {2} t} sin [\ frac {\ pi n (x + 1)} {2}] [/ matemáticas]
Ahora usamos la condición inicial
[matemáticas] 1 = u (0, x) = \ sum_n A_n sin [\ frac {\ pi n (x + 1)} {2}] [/ matemáticas]
Para encontrar [math] A_n [/ math] multiplicamos ambos lados de la ecuación por [math] sin [\ frac {\ pi m (x + 1)} {2}] [/ math] e integramos desde x = -1 a x = 1. Ahora tenga en cuenta que para [math] n \ neq m [/ math] tenemos [math] \ int ^ {1} _ {- 1} sin [\ frac {\ pi m (x + 1)} {2}] sin [\ frac {\ pi n (x + 1)} {2}] dx = 0 [/ math]. Por lo tanto
[matemáticas] A_m = \ frac {\ int ^ {1} _ {- 1} sin [\ frac {\ pi m (x + 1)} {2}] dx} {\ int ^ {1} _ {- 1 } sin ^ {2} [\ frac {\ pi m (x + 1)} {2}] dx} [/ math]
Calcular los rendimientos integrales
[matemáticas] A_n = \ frac {2 [1 – (- 1) ^ m]} {\ pi m} [/ matemáticas]
Que no es cero para m impar. Por lo tanto
[matemáticas] u (x, t) = \ sum ^ {\ infty} _ {m = 0} \ frac {4} {\ pi (2m + 1)} e ^ {- \ left (\ frac {\ pi ( 2m + 1)} {2} \ right) ^ {2} t} sin [\ frac {\ pi (2m + 1) (x + 1)} {2}] [/ math]
Y eso es.
