Si [matemática] a + b = 1 [/ matemática] y [matemática] ab = 1 [/ matemática], entonces ¿qué hace [matemática] a ^ 3 + a ^ 2 + a + b ^ 3 + b ^ 2 + b [/ matemáticas] igual?

Esta pregunta necesita el uso de identidades básicas.

1. (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2
2. (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3ab (a + b) + b ^ 3

Inicialmente ponga los valores de (a + b) y (ab) en la identidad 1.
Tendrás el valor de (a ^ 2 + b ^ 2)
Ie = -1

Luego use los mismos valores dados de (a + b) y (ab) en la identidad 2.
Esta vez te quedará el valor de (a ^ 3 + b ^ 3)
Ie = -3

Ahora, básicamente necesita el valor de (a + b) + (a ^ 2 + b ^ 2) + (a ^ 3 + b ^ 3)
Que según los hallazgos anteriores será igual a
1 + (-1) + (- 2)
= (- 2)

Y ahi tienes
La respuesta es (-2)

Espero haber hecho esto bien. Siéntete libre de corregirme si me equivoco.

Si a + b = 1 y a * b = 1:

b = 1 – a Y b = 1 / a

Además, b = b, entonces

1 / a = 1 – a

1 = a – a ^ 2

a ^ 2 – a + 1 = 0

Entonces, podemos intentar resolver este problema con la fórmula cuadrática:

x = (-b + – √ (b ^ 2 – 4ac)) / 2a

x = (1 + – √ (1 – 4)) / 2

x = (1 + – √ (-3)) / 2

En otras palabras, a = (1 + – √ (-3)) / 2

√ (-3) no es un número real, lo que hace que este problema sea más complicado de lo que me gustaría. Dale una “solución no real” y estarás listo para cualquier clase de matemáticas de bajo nivel. Para una clase más difícil, alguien que sea menos flojo y más educado puede ayudarlo. 🙂

Definamos [matemáticas] S = a ^ 3 + a ^ 2 + a + b ^ 3 + b ^ 2 + b = a (a ^ 2 + a + 1) + b (b ^ 2 + b + 1) [/ matemáticas].

Entonces, dado que [matemáticas] b = 1- a [/ matemáticas], es [matemáticas] a (1-a) = 1 \ Rightarrow a ^ 2 – a + 1 = 0 (eq.1) \ Rightarrow (a – \ frac {1} {4}) ^ 2 = – \ frac {3} {4} \ Rightarrow a_1 = \ frac {1} {2} (\ sqrt {3} i + 1) [/ math] o [math ] a_2 = \ frac {1} {2} (- \ sqrt {3} i + 1) [/ math]. Para el primer caso, [matemáticas] b_1 = \ frac {1} {2} (- \ sqrt {3} i + 1) [/ matemáticas] y para el segundo es [matemáticas] b_2 = \ frac {1} { 2} (\ sqrt {3} i + 1) [/ math].

Pero, a partir de (eq.1) podemos concluir que [matemáticas] a ^ 2 + a + 1 = 2a [/ matemáticas]. En consecuencia [matemáticas] b ^ 2 + b + 1 = 2b [/ matemáticas].

Entonces, [matemáticas] S = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 [/ matemáticas]. Sustituyendo ayb, para cada caso (en realidad, ambos casos nos darán el mismo resultado, ya que [matemática] a_1 = a’_2, b_1 = b’_2 [/ matemática]), obtenemos que: [matemática] S = 2 (\ frac {1} {2}) ^ 2 ((\ sqrt {3} i + 1)) ^ 2 + (- \ sqrt {3} i + 1) ^ 2) = \ frac {1} {2 } (1 + 2 \ sqrt {3} i – 3 + 1 -2 \ sqrt {3} i – 3) = -2 [/ matemáticas]

a + b = 1, y a * b = 1
Luego
a ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 – 2ab = -1
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ^ 3 – 3 (a + b) ab = -2

Entonces la suma es igual a -2.

Como colorario, ayb son las soluciones de x ^ 2 – x + 1

Esto significa que a ^ 4 + b ^ 4 = (a ^ 2 – a ^ 3) + (b ^ 2 – b ^ 3) = -1 – -2 = 1
a ^ 5 + b ^ 5 = -3
a ^ 6 + b ^ 6 = 4

Y así.

Dado que [matemática] a + b = 1 [/ matemática] y [matemática] ab = 1 [/ matemática], [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​raíces de la [matemática] cuadrática x ^ 2-x + 1 = 0 [/ matemáticas]. Esto se debe a que [matemática] a + b [/ matemática], la suma de las raíces, es igual a [matemática] – (- 1) / 1 = 1 [/ matemática], mientras que el producto de las raíces [matemática] ab [/ matemática] es igual a [matemática] 1/1 = 1 [/ matemática]. Así

[matemáticas] a ^ 2-a + 1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] a ^ 2 = a-1 [/ matemáticas]
Además, al multiplicar ambos lados por [matemáticas] a [/ matemáticas],
[matemáticas] a ^ 3 = a ^ 2-a = a-1-a = -1. [/ matemáticas]

Del mismo modo [matemáticas] b ^ 2 = b-1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ 3 = -1 [/ matemáticas]. Por lo tanto

[matemáticas] a + a ^ 2 + a ^ 3 + b + b ^ 2 + b ^ 3 = a + (a-1) + (- 1) + b + (b-1) + (- 1) = 2a-2 + 2b-2 = 2a + 2b-4 = 2 (a + b-2). [/ Matemáticas]

Pero [matemáticas] a + b = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, la expresión requerida es igual a [matemáticas] 2 (1-2) = – 2. [/ Matemáticas]

Sobre la respuesta de Alexander Farrugia

a saber: a ^ 3 = b ^ 3 = -1

y a ^ 2 = a-1 = -b

por lo tanto a ^ 2 + b = 0 de manera similar b ^ 2 + a = 0

por lo tanto a ^ 3 + b ^ 3 + (a ^ 2 + b + b ^ 2 + a) = -2

Cabe señalar que ayb son raíces cúbicas de -1 y son conjugados complejos. a ^ 2 y b ^ 2 son raíces cúbicas de 1 y son conjugados complejos. así, en el plano complx, a ^ 2 yb son diametralmente opuestos en el círculo unitario.

(a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b)

(1) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3 (1) (1)

1 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3

-2 = a ^ 3 + b ^ 3

(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab

(1) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2 (1)

1 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2

-1 = a ^ 2 + b ^ 2 (debe haber un número complejo aquí i ^ 2 = -1)

ahora,

a ^ 3 + b ^ 3 + a ^ 2 + b ^ 2 + a + b = -2 + (- 1) + (a + b) = -2-1 + 1 = -2

(a ^ 3 + b ^ 3) + (a ^ 2 + b ^ 2) + (a + b)
(a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) + (a ^ 2 + b ^ 2) + (a + b). a + b = 1 y ab = 1 así

= 1 (a ^ 2 -1 + b ^ 2) + (a ^ 2 + b ^ 2) +1. 1-1 = 0

= a ^ 2 + b ^ 2 + a ^ 2 + b ^ 2

= 2 (a ^ 2 + b ^ 2) ……………………… .Eq.1

(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab

1 ^ 2. = a ^ 2 + b ^ 2 +2 = 1

entonces a ^ 2 + b ^ 2. = -1 …………… .Eq.2

Sub Eq.2 en Eq.1 para obtener

a ^ 3 + b ^ 3 + a ^ 2 + b ^ 2 + a + b = 2 (a ^ 2 + b ^ 2) = 2 (-1) = -2

Como un aparte de la ecuación 2 donde a ^ 2 + b ^ 2 = -1. Debe haber un número complejo escondido allí en alguna parte. (i ^ 2 = -1)