¿Cuál es la cardinalidad de un conjunto S donde cada conjunto múltiple finito de elementos de S es miembro de S?

La respuesta de David Joyce es probablemente la más útil si está pensando en el “conjunto más pequeño cerrado bajo múltiples conjuntos finitos”. Luego, solo tenemos árboles finitos con [math] \ {\} [/ math] como el único elemento de hoja.

Pero, el conjunto más pequeño [matemático] S [/ matemático] no es el único conjunto [matemático] S [/ matemático]. Tome [math] \ R [/ math] como el conjunto inicial (o, si lo desea, alguna construcción apropiada de conjunto teórico de [math] \ R [/ math].) Luego, los multisets finitos de [math] \ R [ / math] son funciones [math] f: \ R \ rightarrow \ Z [/ math] con soporte finito, es decir, [math] f (x) \ not = 0 [/ math] solo para muchos valores finitos. Sin embargo, podemos mostrar (con el axioma de elección) que estas funciones tienen la misma cardinalidad que [math] \ R [/ math].

(Un resumen rápido: las funciones [math] \ R \ rightarrow \ Z [/ math] con soporte finito corresponden a la secuencia finita de pares de [math] \ R \ times \ Z [/ math]. Obviamente [math] | (\ R \ times \ Z) ^ {n} | = | \ R | [/ math] y si tenemos cuidado podemos demostrar que la unión de todas esas secuencias finitas todavía tiene la misma cardinalidad.)

Aquí es donde mi respuesta difiere de la de Hans Hyttels, porque la cardinalidad del espacio de funciones no es mayor cuando tiene un soporte finito, y comenzamos con un conjunto infinito.

Por lo tanto, los conjuntos en cuestión pueden considerarse árboles finitos, con hojas elegidas de algún conjunto de hojas. Elija [matemática] \ {\} [/ matemática] o [matemática] \ N [/ matemática] como el conjunto de hojas y obtendrá [matemática] S = \ aleph_0 [/ matemática]. Elija [math] \ R [/ math] como conjunto de hojas y obtendrá [math] S = | \ R | [/ math], o [math] S = \ aleph_1 [/ math] si siente lo mismo por CH . Pero también puede elegir un conjunto más grande como el conjunto de hojas y obtener una S. aún más grande

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Si [math] S [/ math] es un conjunto finito [math] S = \ {a_1, \ ldots, a_k \} [/ math], entonces un subconjunto múltiple de [math] S [/ math] corresponde a un vector [math] (x_1, \ ldots, x_k) [/ math] donde [math] x_i [/ math] es el número de apariciones de [math] a_i [/ math] en el conjunto múltiple. El conjunto de tales vectores [math] k [/ math] -dimensional es, por supuesto, contable.

En términos más generales, si [math] S [/ math] es un conjunto con cardinalidad [math] K [/ math], entonces un subconjunto múltiple de [math] S [/ math] corresponde a una función [math] f: S \ rightarrow \ mathbb {N} \ cup \ {\ omega \} [/ math] donde [math] f (a) = k [/ math] si el sub-multiset tiene [math] k [/ math] ocurrencias de [math ] a [/ matemáticas]. Hay [math] K ^ {\ aleph_0} [/ math] tales funciones.

Ahora, ¿cuál es la cardinalidad de un conjunto que se cierra bajo la operación de multisets finitos?

Aquí queremos que la cardinalidad [math] K [/ math] de [math] S [/ math] sea igual a la de [math] K \ rightarrow \ mathbb {N} \ cup \ {\ omega \} [/ math ] Sin embargo, un momento de reflexión debería convencernos de que tal identidad no puede sostenerse para ningún conjunto, ya que la operación del espacio de funciones siempre producirá un conjunto de cardinalidad estrictamente mayor. Es decir, para cualquier conjunto [math] A [/ math] y [math] B [/ math], donde [math] B [/ math] no es un conjunto singleton, tenemos que el conjunto de funciones [math] A \ rightarrow B [/ math] tiene mayor cardinalidad que las de [math] A [/ math] y de [math] B [/ math]. (Una prueba de esto utilizará la diagonalización).

Ricky Kwok

No estoy seguro de qué orden está usando cuando dice que esta es una enumeración de los primeros cincuenta elementos de dicho conjunto, pero si tiene una enumeración del conjunto, entonces es infinitamente contable

Otra forma de ver un conjunto de conjuntos múltiples es que son árboles enraizados. El corchete externo corresponde a la raíz, y cada uno de sus elementos es hijo de la raíz. Las hojas son los conjuntos vacíos. Por ejemplo,