Como se puede ver en las otras respuestas, hay varios métodos diferentes para calcular las raíces cuadradas a mano (para algunos enfoques menos ortodoxos, vea mi respuesta a ¿Cómo puedo calcular la raíz cuadrada de 3609?). El más conocido es probablemente el método tradicional descrito por Ed Caruthers y David Joyce, aunque no es el más eficiente. Históricamente, algunas calculadoras mentales (como el matemático Alexander Aitken) utilizaron el método Newton-Rhapson mencionado por Mark Eichenlaub, que converge rápidamente pero requiere divisiones complejas.
Creo que en estos días los métodos más utilizados son variaciones del siguiente algoritmo. Este algoritmo tiene dos ventajas: (1) los cálculos son simples y no se vuelven más complejos a medida que avanza (aunque el número de adiciones aumenta); y (2) no necesita guardar mucha información en la memoria. Como resultado, es bastante fácil, con un poco de práctica, usar esto para calcular rápidamente las raíces cuadradas en un puñado de decimales en la cabeza.
Método
Demostraré el método calculando la raíz cuadrada de π = 3.141592 …
Paso 1. Mueva el punto decimal un número par de lugares a la izquierda o la derecha, de modo que haya tres o cuatro dígitos a la izquierda: 314.15926…. Luego calcule y anote la raíz cuadrada de dos dígitos (17) y el resto (25). El primero actuará como divisor y como el comienzo de la respuesta; este último se usará en el siguiente paso.
[matemáticas] \ begin {array} {rl} & \ kern {10mu} 1.7 \\ 17 \ kern-12mu & \ textbf {| } {\ mathbf {3.14} 1592} \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.1} 25 \, (= 314- 17 ^ 2) \\\ end {array} [/ math]
Paso 2 Multiplique el resto por 5 y agréguele la mitad del primer dígito no utilizado del número (1):
[matemáticas] \ begin {array} {rl} & \ kern {10mu} 1.7 \\ 17 \ kern-12mu & \ textbf {| } {\ mathbf {3.141} 592} \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.1} 5 \ times 25 + \ frac {1} {2} = 125.5 \\\ end {array} [/ math]
Ahora divida esto entre el dividendo (17) para calcular el siguiente dígito y el resto:
[matemáticas] \ begin {array} {rl} & \ kern {10mu} 1.7 \, 7 \\ 17 \ kern-12mu & \ textbf {| } {\ mathbf {3.141} 592} \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.1} 125.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.14} 6.5 \, (= 125.5 – 119) \\\ end { matriz} [/ math]
Paso 3+ Multiplique el resto por 10 , agréguele la mitad del siguiente dígito no utilizado del número y reste la mitad del producto cruzado de todos los dígitos calculados desde el paso 2. Esto es más simple de lo que parece: simplemente empareje y multiplique los dígitos desde el exterior adentro, y si el dígito del medio se empareja consigo mismo, divida ese producto específico por dos. Por lo tanto, para [math] abcd [/ math] debe restar [math] ad + bc [/ math], mientras que para [math] abc [/ math] debe restar [math] ac + \ frac {b ^ 2} { 2} [/ matemáticas]. Para el primer paso tenemos solo un dígito (7), así que restamos [math] \ frac {7 ^ 2} {2} [/ math]:
[matemáticas] \ begin {array} {rl} & \ kern {10mu} 1.7 \, 7 \\ 17 \ kern-12mu & \ textbf {| } {\ mathbf {3.1415} 92} \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.1} 125.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.14} 65 + \ frac {5} {2} – \ frac { 7 ^ 2} {2} = 43 \\\ end {array} [/ math]
Como antes, ahora dividimos por el dividendo para calcular el siguiente dígito y el resto:
[matemáticas] \ begin {array} {rl} & \ kern {10mu} 1.7 \, 72 \\ 17 \ kern-12mu & \ textbf {| } {\ mathbf {3.1415} 92} \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.1} 125.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.14} 45.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.141} 9 \, (= 43 – 34) \ end {array} [/ math]
Repetir Ahora repetimos el Paso 3 para generar dígitos adicionales.
[matemáticas] \ begin {array} {rl} & \ kern {10mu} 1.7 \, 72 \\ 17 \ kern-12mu & \ textbf {| } {\ mathbf {3.14159} 2} \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.1} 125.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.14} 45.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.141} 94.5 – (7 \ times 2) = 80.5 \ end {array} [/ math]
[matemáticas] \ begin {array} {rl} & \ kern {10mu} 1.7 \, 724 \\ 17 \ kern-12mu & \ textbf {| } {\ mathbf {3.14159} 2} \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.1} 125.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.14} 45.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.141} 80.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.1415} 12.5 \, (= 80.5- 68) \ end {array} [/ math]
[matemáticas] \ begin {array} {rl} & \ kern {10mu} 1.7 \, 724 \\ 17 \ kern-12mu & \ textbf {| } {\ mathbf {3.141592}} \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.1} 125.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.14} 45.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.141} 80.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.1415} 126 – (7 \ times 4) – \ frac {2 ^ 2} {2} = 96 \ end {array} [/ math]
[matemáticas] \ begin {array} {rl} & \ kern {10mu} 1.7 \, 7245 \\ 17 \ kern-12mu y {\ textbf {| } \ mathbf {3.141592}} \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.1} 125.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.14} 45.5 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.141} 80.5 \ \ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.1415} 96 \\ & \ kern {12mu} \ hphantom {3.14159} 11 \, (= 96 – 85) \ end {array} [/ math]
Notas
- Durante el paso 3 es posible obtener un valor negativo (aunque no sucede con mucha frecuencia). Hay varias formas de manejar esto. Lo más simple es seguir adelante independientemente, con un dígito negativo en el resultado, y ajustarlo al final: por ejemplo, 1.74 [-1] 3 se convertirá en 1.7393. Recuerde usar el dígito negativo en el cálculo del producto cruzado.
- Si se siente cómodo dividiendo números de 4 dígitos por números de 2 dígitos, puede acelerar el algoritmo multiplicando por 50/100 en lugar de 5/10 en los pasos 2/3, y eliminando 2 dígitos cada vez . Esto producirá la respuesta de dos dígitos a la vez a expensas de cálculos más complicados.
