En un espacio métrico [matemática] (X, d) [/ matemática], un conjunto se define como abierto si se puede expresar una unión de una familia arbitraria de bolas abiertas, es decir, conjuntos de la forma
[matemáticas] B (x, r) = \ {y \ en X \ colon d (x, y) 0). [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que debido a la simetría de la métrica, tenemos
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[matemáticas] B (x, r) = \ {y \ en X \ colon d (y, x) <r \}. [/ matemáticas]
Para un espacio métrico parcial [matemática] (X, d) [/ matemática] adoptamos esta definición y también definimos conjuntos abiertos como unión de conjuntos de la forma
[matemáticas] B (x, r) = \ {y \ en X \ colon d (x, y) 0). [/ matemáticas]
Curiosamente, tomando en su lugar
[matemáticas] B ^ \ prime (x, r) = \ {y \ en X \ colon d (y, x) <r \} [/ matemáticas]
obtendríamos una topología diferente en general.
Un conjunto está cerrado si el complemento está abierto, por lo que la respuesta breve a su pregunta es sí, las definiciones son las mismas, pero debemos tener cuidado con la dirección de medición de la distancia.
Toda la información relevante está contenida en esta nota mensual de Michael Bukatin, Ralph Kopperman, Steve Matthews y Homeira Pajoohesh.
