Encuentre el dominio de la función [matemáticas] f (x) = \ frac {1} {x} + \ sqrt {2x + 3} + \ sqrt [3] {1 – x}? [/ Matemáticas]

Encontremos el dominio de cada función por separado. déjalos ser D1, D2, D3

[matemáticas] \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] D1 = (- \ infty \ ,; 0) U (0 \,; \ infty) [/ matemáticas] porque una fracción no puede tener cero como denominador, por lo tanto, x no puede tomar el valor cero

[matemáticas] \ sqrt {2x + 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] D2 = [- \ frac {3} {2} \ ,; \ infty) [/ math], porque la expresión debajo de una raíz cuadrada siempre debe ser positiva o cero, por lo que debe resolver [math] 2x + 3 \ geq 0 [/ math]

[matemáticas] \ sqrt [3] {1 – x} [/ matemáticas]

[math] D3 = (- \ infty \ ,; \ infty) [/ math], la función [math] \ sqrt [3] {f (x)} [/ math] se define para cualquier número real. Por lo tanto, la respuesta final es

[matemática] D1 \, U \, D2 \, U \, D3 [/ matemática] = ([matemática] – \ infty \ ,; 0) \, U \, (0 \,; \ infty) \, U \ , [- \ frac {3} {2} \ ,; \ infty) \, U \, (- \ infty \ ,; \ infty) [/ math]

[matemáticas] x \ en [- \ frac {3} {2} \ ,; 0) \, U \, (0 \,; \ infty) [/ math]

La fracción [matemática] \ frac {1} {x} [/ matemática] implica que, [matemática] x> 0 [/ matemática] porque, una fracción llamada [matemática] \ frac {1} {0} [/ matemática] simplemente no existe

La raíz cuadrada también es una función especial donde el número no puede ser negativo. Ahora, resolvemos [matemáticas] 2x + 3 \ ge 0 [/ matemáticas].

[matemáticas] 2x + 3 \ ge 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x \ ge -3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ ge \ frac {-3} {2} [/ matemáticas]

La función de raíz cúbica no tiene complicaciones.

El dominio es, [matemáticas] \ frac {-3} {2} <0

Gracias por la A2A

Observaremos los tres términos en la expresión por separado y consideraremos solo los valores reales de [math] x [/ math].

  • Desde el primer término, [matemática] x [/ matemática] no puede ser [matemática] 0 [/ matemática].
  • Del segundo término, [matemática] x [/ matemática] no puede ser menor que [matemática] -3/2 [/ matemática].
  • A partir del tercer término, [math] x [/ math] puede tener cualquier valor real.

Combine los tres y tendrá el siguiente dominio para [math] x [/ math]:

[matemáticas] x \ en [-3/2, 0) \ cup (0, \ infty). [/ matemáticas]

Gracias por A2A.

Desde el primer término [matemáticas] \ frac {1} {x} [/ matemáticas] sabemos que [matemáticas] x \ neq0 [/ matemáticas], o [matemáticas] x \ in (- \ infty, 0) \ cup ( 0, \ infty) [/ math]

Del término [math] \ sqrt {2x + 3} [/ math] sabemos que [math] 2x + 3 \ geq0 \ Rightarrow x \ geq- \ frac {3} {2} [/ math] o [math] x \ in [- \ frac {3} {2}, \ infty) [/ math]

Y de [math] \ sqrt [3] {1-x} [/ math] sabemos que [math] x \ in (- \ infty, \ infty) [/ math]

Ahora necesitamos encontrar la intersección, que será:

[math] x \ in [- \ frac {3} {2}, 0) \ cup (0, \ infty) [/ math] y esto será dominio de la función

Encontrar el dominio de una función es básicamente decir qué valores tomará la función como entradas. Por lo tanto, cuando busque el dominio de una función, debe tener cuidado y verificar que “se arruine”, lo que hará que la función se bloquee en la entrada. Los más comunes para verificar son

  • Cero en el denominador de fracción (o cosas que causan una división por cero)
  • Valores que causarán un valor negativo dentro de una raíz cuadrada (incluso raíz como adelante, seis … raíz raíz).

En este problema particular tenemos una fracción, raíz cuadrada y una raíz cúbica. Por lo que mencioné anteriormente, tenemos que tener cuidado con los ceros que aparecen en los denominadores de fracción (dividir entre cero no está definido. También para las raíces cuadradas, necesitamos ver qué valor hará que nuestra raíz cuadrada tenga un valor negativo. Hacemos esto siguiente manera

¿Qué valor nos hará tener una división por error en el primer término? El término fracción

[matemáticas] \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

la única forma en que obtendremos un cero en el denominador en este término es si [matemática] x = 0 [/ matemática] no podemos tener eso, por lo que debemos restringir el cero del dominio por lo tanto [matemática] x \ neq 0 [/ matemáticas].

Ahora tenemos que verificar la raíz cuadrada y ver qué valor hará que el valor debajo de la raíz cuadrada sea negativo. Hacemos esto por

[matemáticas] 0 \ leq 2x + 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] -3 \ leq 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {-3} {2} \ leq x [/ matemáticas]

¿Qué significa esto? Esto significa que mientras [math] \ frac {-3} {2} \ leq x [/ math] nuestro valor bajo la raíz cuadrada sea positivo, ¡lo que queremos!

Puede adquirir cualquier valor real, por lo que no debemos preocuparnos por eso.

Finalmente, tenemos que juntar lo que encontramos y ponerlo en notación de intervalo.

El dominio de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas]

es [matemáticas] [\ frac {-3} {2}, 0) \ cup (0, \ infty) [/ matemáticas]

No contesto la pregunta de HW directamente.

Puede encontrar útil la siguiente respuesta:

La respuesta de Ashish Kushwaha a ¿Podría alguien ayudarme a entender f (x) con dominio y rango?

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