tl; dr: El teorema de Gelfand-Naimark dice que cada álgebra C * abstracta tiene una representación concreta como transformaciones lineales limitadas en un espacio de Hilbert. Esto significa, entre otras cosas, que la teoría de las álgebras C * es muy axiomatizable en el sentido de la teoría de modelos continuos, por lo que existen muchas herramientas de la lógica que podemos aplicar a las álgebras C *.
El teorema de Gelfand-Naimark tiene que ver con las álgebras C *, por lo que probablemente sea bueno comenzar con las álgebras C *. Probablemente voy a hablar sobre muchos espacios vectoriales y transformaciones lineales en esta respuesta, y todos ellos estarán sobre el campo de los números complejos.
Comencemos con álgebras C * concretas. Deje que [matemáticas] H [/ matemáticas] sea un espacio de Hilbert. Veamos [math] B (H), [/ math] el conjunto de operadores lineales acotados en [math] H [/ math] por un segundo. [matemáticas] B (H) [/ matemáticas] tiene alguna estructura elaborada. Primero, es un espacio vectorial ya que uno puede agregar transformaciones lineales acotadas y multiplicarlas por escalares complejos de la manera habitual. Además, puede componer dos transformaciones lineales acotadas en [matemática] B (H). [/ Matemática] Simplemente llamaremos a la composición “multiplicación”. Se reduce a solo multiplicación matricial si [matemática] H [/ matemática] es finita -dimensional. Esto hace que [matemática] B (H) [/ matemática] sea un álgebra (no conmutativa) ya que es un espacio vectorial con una multiplicación no conmutativa. [matemáticas] B (H) [/ matemáticas] viene con una norma: [matemáticas] \ | T \ | = sup_ {x \ en B_1} \ | Tx \ | _H. [/ matemática] Aquí [matemática] B_1 [/ matemática] denota la bola de la unidad en [matemática] H. [/ matemática] Si [matemática] H [/ matemática ] es de dimensión finita, entonces la norma de [matemáticas] T [/ matemáticas] es simplemente el mayor valor singular de [matemáticas] T. [/ matemáticas] Se garantiza que esta norma existe ya que estamos hablando solo de transformaciones limitadas. Por último, pero no menos importante, cada elemento [math] T [/ math] de [math] B (H) [/ math] tiene un adjunto [math] T ^ \ ast [/ math] definido por [math] \ langle x, Ty \ rangle_H = \ langle T ^ \ ast x, y \ rangle [/ math]. Además, [matemáticas] \ | T \ | = \ | T ^ \ ast \ |. [/ Math]
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Definamos un álgebra C * “concreta” como cualquier subálgebra [matemática] A [/ matemática] de [matemática] B (H) [/ matemática] que se cierra al tomar adjuntos (es decir, si [matemática] a \ en A [/ math] luego [math] a ^ \ ast \ en A. [/ math]) y que está cerrado en la topología de la norma (es decir, si [math] (a_n) [/ math] es una secuencia de Cauchy en [math] A [/ math], entonces existe [math] a \ en A [/ math] tal que [math] \ | a_n – a \ | \ to 0. [/ Math])
Veamos algunos ejemplos antes de continuar. Ciertamente, [matemáticas] B (H) [/ matemáticas] en sí es un álgebra C * concreta. Así es [math] M_n (\ mathbb {C}) [/ math], las matrices [math] n \ times n [/ math] sobre los números complejos. Esto es solo [matemática] B (H) [/ matemática] donde [matemática] H [/ matemática] es n-dimensional. Si [math] H [/ math] es de dimensión infinita, tiene [math] K (H) [/ math], las transformaciones compactas en [math] H [/ math]. [matemática] K (H) [/ matemática] es la más pequeña [matemática] C * -álgebras [/ matemática] que contiene [matemática] F (H) [/ matemática], el subálgebra de las transformaciones de rango finito. [matemática] F (H) [/ matemática] se cierra tomando adjuntos ya que el adjunto de una transformación de rango finito es rango finito. Sin embargo, [matemática] F (H) [/ matemática] no está cerrada por la norma, por lo que [matemática] K (H) [/ matemática] es solo el cierre normativo de [matemática] F (H) [/ matemática] dentro de [matemáticas] B (H) [/ matemáticas]. [matemáticas] K (H) [/ matemáticas] no es unital: no hay ningún elemento de identidad en [matemáticas] K (H). [/ matemáticas] [matemáticas] K (H) [/ matemáticas] también es la única C * -álgebra, que es un ideal de dos lados en [matemáticas] B (H) [/ matemáticas].
Una gran y rica clase de ejemplos proviene de espacios topológicos. Deje que [math] X [/ math] sea un espacio de Hausdorff localmente compacto. Deje que [math] C_0 (X) [/ math] denote el conjunto de funciones continuas de valores complejos en [math] X [/ math] que desaparecen en el infinito. [matemática] C_0 (X) [/ matemática] actúa por multiplicación puntual en [matemática] L ^ 2 (X, \ mu) [/ matemática] donde [matemática] \ mu [/ matemática] es cualquier medida de Borel en [matemática] X [/ matemáticas]. La multiplicación aquí es simplemente una multiplicación puntual de funciones, y la norma en [matemáticas] B (L ^ 2 (X, \ mu)) [/ matemáticas] coincide con la norma sup. El adjunto de una función en [math] C_0 (X) [/ math] es el conjugado complejo puntual. La multiplicación en este ejemplo es claramente conmutativa. Cada álgebra conmutativa C * es isomorfa a [matemática] C_0 (X) [/ matemática] para algún espacio topológico [matemática] X [/ matemática] y [matemática] C_0 (X) [/ matemática] es isomorfa a [matemática] C_0 (Y) [/ math] como C * -algebras si y solo si [math] X [/ math] y [math] Y [/ math] son homeomorfas.
Otra clase grande y rica de ejemplos proviene de grupos discretos. Deje que [math] \ Gamma [/ math] sea un grupo discreto. Deje que [math] \ lambda: \ Gamma \ to \ mathcal {U} (\ ell ^ 2 (\ Gamma)) [/ math] sea la representación regular izquierda. Aquí [math] \ mathcal {U} (\ ell ^ 2 (\ Gamma)) [/ math] denota el grupo de transformaciones unitarias en el espacio de Hilbert. El grupo reducido C * -algebra es el más pequeño C * -algebra que contiene [math] \ lambda (\ Gamma) [/ math] en [math] B (\ ell ^ 2 (\ Gamma)) [/ math].
Entonces esas son algunas álgebras C * concretas. ¿Podemos abstraerlos? Seguro. Deje que [math] A [/ math] sea un álgebra, entonces un espacio vectorial con una multiplicación que puede ser conmutativa o no conmutativa. [matemáticas] A [/ matemáticas] debe venir con una involución [matemáticas] ^ \ ast [/ matemáticas] que tiene algunas propiedades familiares: [matemáticas] (a ^ \ ast) ^ \ ast = a, (ab) ^ \ ast = b ^ \ ast a ^ \ ast, (a + b) ^ \ ast = a ^ \ ast + b ^ \ ast, (\ lambda a) ^ \ ast = \ bar {\ lambda} a ^ \ ast. [ / math] [math] A [/ math] también debería venir con una norma [math] \ | \ cdot \ | [/ math], y la norma y la involución [math] ^ \ ast [/ math] deberían interactuar en una manera particular: [matemáticas] \ | aa ^ \ ast \ | = \ | a \ | ^ 2. [/ math] Deberías pensar en matrices por un segundo. ¿Cómo se calcula el mayor valor singular de una matriz [matemática] T [/ matemática]? Bueno, usted calcula el valor propio más grande [matemática] \ lambda_1 [/ matemática] de la matriz definida positiva [matemática] TT ^ \ ast [/ matemática] y luego el mayor valor singular de [matemática] T [/ matemática] es solo [matemática ] \ sqrt {\ lambda_1} [/ math]. Un álgebra C * abstracta es cualquier estructura que satisfaga los axiomas anteriores. No es difícil verificar que cualquier álgebra C * concreta satisfaga todas las propiedades anteriores.
Así que ahora finalmente estamos listos para hablar sobre el Teorema de Gelfand-Naimark. Aquí está: Cada álgebra C * abstracta también es un álgebra C * concreta. Es decir, si tiene un álgebra [matemática] A [/ matemática] con una operación [matemática] ^ \ ast [/ matemática] y una norma que satisface todo en el párrafo anterior, entonces existe un espacio de Hilbert [matemática] H [ / math] y un inyectivo [math] ^ \ ast [/ math] -homomorphism [math] \ pi: A \ to B (H) [/ math] (es decir, un morfismo inyectivo de C * -algebras). esto es que la clase de álgebras C * es axiomatizable en el sentido de la teoría del modelo continuo, por lo que existen muchas herramientas de la teoría del modelo que podemos aplicar a las álgebras C *.
