[matemáticas] c = \ cos x [/ matemáticas]
[matemáticas] c ^ 3 + \ dfrac {1} {c ^ 3} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] c ^ 3 = – \ dfrac {1} {c ^ 3} [/ matemáticas]
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[matemáticas] c ^ 6 = -1 [/ matemáticas]
Solo vamos a obtener raíces complejas, seis sextas raíces de [matemáticas] -1 = e ^ {i \ pi}. [/ Matemáticas] Como siempre, para enteros [matemáticas] k, [/ matemáticas] [matemáticas] e ^ {2 \ pi ki} = 1. [/ Matemáticas]
Debería haberlo visto venir. Para [math] c [/ math] real, [math] c ^ 3 [/ math] y [math] 1 / c ^ 3 [/ math] tienen el mismo signo y [math] c [/ math] no puede ser cero, por lo que obtener cero es problemático.
[matemáticas] c = (e ^ {i \ pi + 2 \ pi ki}) ^ {\ frac 1 6} = e ^ {i \ pi (2k + 1) / 6} [/ matemáticas]
Eso se está poniendo feo, especialmente porque el siguiente paso es [math] \ sin x = \ pm \ sqrt {1 – c ^ 2}. [/ Math]
También podría anotar una respuesta, llegamos hasta aquí:
[matemáticas] \ sin (2x) = 2 \ sin x \ cos x = \ pm 2 e ^ {i \ pi (2k + 1) / 6} \ sqrt {1 – e ^ {i \ pi (2k + 1) / 3}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ pm 2 \ sqrt {e ^ {i \ pi (2k + 1) / 3} (1 – e ^ {i \ pi (2k + 1) / 3})} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ pm 2 \ sqrt {e ^ {i \ pi (2k + 1) / 3} – e ^ {i 2 \ pi (2k + 1) / 3}} [/ matemáticas]
OKAY. Lo que sea.
EDITAR: eché un vistazo a otra respuesta que esencialmente fue:
[matemáticas] c ^ 6 = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] c ^ 2 = -1 [/ matemáticas]
Me gusta la idea. Simplemente vamos a sumergir nuestro dedo del pie en el plano complejo, no entrar. En lugar de los seis cosenos, nos limitaremos a dos, [matemáticas] c = \ pm i. [/ Matemáticas] Por Pitágoras, dejando que [ matemáticas] s = \ sen x, [/ matemáticas]
[matemáticas] s ^ 2 + c ^ 2 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] s = \ pm \ sqrt {1 – c ^ 2} = \ pm \ sqrt {1 – -1} = \ pm \ sqrt {2} [/ matemáticas]
Ahora [math] \ sin (2x) = 2 \ sin x \ cos x = 2 (\ pm \ sqrt {2}) (\ pm i) = \ pm 2 i \ sqrt {2} [/ math]
Veamos si esa es la respuesta que garabateamos arriba. [matemática] c = i = e ^ {i \ pi / 2} [/ matemática] corresponde a [matemática] k = 1 [/ matemática] en [matemática] c = e ^ {i \ pi (2k + 1) / 6} [/ matemáticas]
Sustituyendo [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas] en
[matemáticas] \ sin (2x) = \ pm 2 \ sqrt {e ^ {i \ pi (2k + 1) / 3} – e ^ {i 2 \ pi (2k + 1) / 3}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ pm 2 \ sqrt {e ^ {i \ pi} – e ^ {2 \ pi i}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ pm 2 \ sqrt {-1 – 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ pm 2 \ sqrt {-2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ pm 2i \ sqrt {2} \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]
La pregunta es, ¿es este el valor para [math] \ sin (2x) [/ math] para los valores más difíciles de [math] \ cos x [/ math]? Hicimos trampa simplificando
[matemáticas] c ^ 6 = -1 [/ matemáticas]
Estamos adecuadamente interesados en [matemáticas] c ^ 2. [/ matemáticas] Hay tres valores para [matemáticas] c ^ 2, [/ matemáticas] las tres raíces cúbicas de [matemáticas] -1. [/ Matemáticas] Vamos a obtener aquellos:
[matemáticas] z ^ 3 + 1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (z + 1) (z ^ 2 – z + 1) = 0 [/ matemáticas]
[matemática] z = -1 [/ matemática] o [matemática] z = \ frac 1 2 (1 \ pm i \ sqrt {3}) [/ matemática]
Ya hicimos [math] c ^ 2 = -1. [/ Math] Ahora simplemente escojamos la raíz más:
[matemáticas] c ^ 2 = \ frac 1 2 (1 + i \ sqrt {3}) [/ matemáticas]
[matemáticas] s ^ 2 = 1-c ^ 2 = \ frac 1 2 (1 – i \ sqrt {3}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin (2x) = 2 pb [/ matemáticas]
[matemática] = \ pm 2 \ sqrt {\ frac 1 2 (1 – i \ sqrt {3})} \ sqrt {\ frac 1 2 (1 + i \ sqrt {3})} [/ math]
[matemáticas] = \ pm 2 \ cdot \ frac 1 2 \ sqrt {1 + 3} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ pm 2 [/ matemáticas]
Interesante. ¿Perdimos un [math] i \ sqrt {2} [/ math] en un error o es realmente diferente al caso [math] c ^ 2 = -1 [/ math]?
Probemos [math] k = 2 [/ math] en la respuesta original:
[matemáticas] \ sin (2x) = \ pm 2 \ sqrt {e ^ {i (5 \ pi / 3)} – e ^ {i (10 \ pi / 3)}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin (2x) = \ pm 2 \ sqrt {e ^ {i (- \ pi / 3)} – e ^ {i (-2 \ pi / 3)}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin (2x) = \ pm 2 \ sqrt {\ cos (\ pi / 3) – i \ sin (\ pi / 3) – \ cos (2 \ pi / 3) + i \ sin (2 \ pi / 3)} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin (2x) = \ pm 2 \ sqrt {\ frac 1 2 (1 – i \ sqrt {3} – (-1) + i \ sqrt {3})} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin (2x) = \ pm 2 \ sqrt {1} = \ pm 2 [/ matemáticas]
OK, a veces [math] \ sin (2x) [/ math] es [math] \ pm 2i \ sqrt {2} [/ math] y a veces es [math] \ pm 2. [/ math] Deberíamos verificar el otro [matemáticas] k [/ matemáticas] s para asegurarse de que no haya más opciones.
Por lo general, los problemas no involucran funciones trigonométricas imaginarias. ¿Qué pasa si el OP realmente significaba
[matemáticas] \ cos ^ 3 (x) + \ sin ^ 3 (x) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cos ^ 3 x = – \ sin ^ 3 x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {\ sin ^ 3 x} {\ cos ^ 3 x} = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ tan ^ 3 x = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ tan x = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = – \ pi / 4 + k \ pi [/ matemáticas]
Manía: [matemáticas] 30 ^ \ circ [/ matemáticas] y [matemáticas] 45 ^ \ circ [/ matemáticas] son prácticamente los únicos ejemplos en trigonometría
[matemáticas] 2x = – \ pi / 2 + 2 \ pi k [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin (2x) = \ sin (- \ pi / 2) = -1 [/ matemáticas]
Eso fue más fácil.
