Muchas construcciones en álgebra y topología son adjuntas.
Un ejemplo es el grupo libre en un conjunto de generadores .
Considere el functor olvidadizo [math] U: \ mathcal G \ to \ mathcal S [/ math] de la categoría de grupos a la categoría de conjuntos. Toma un grupo y olvida su estructura de grupo y simplemente devuelve su conjunto subyacente. El adjunto izquierdo a [math] U [/ math] es el functor de grupo libre [math] F: \ mathcal S \ to \ mathcal G. [/ Math] Toma un conjunto [math] S [/ math] y construye el grupo libre [math] F (S) [/ math] generado por el conjunto [math] S. [/ math]
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Decir que [math] F [/ math] es el adjunto izquierdo de [math] U [/ math] (y que [math] U [/ math] es el adjunto derecho de [math] F [/ math]) dice que los homomorfismos de grupo [matemática] F (S) \ a G [/ matemática] del grupo libre en [matemática] S [/ matemática] a un grupo [matemática] G [/ matemática] corresponden a las funciones [matemática] S \ a U (G), [/ math] es decir,
[matemática] \ mbox {Hom} _ {\ matemática G} (F (S), G) \ cong \ mbox {Hom} _ {\ matemática S} (S, U (G)). [/ matemática]
Por supuesto, la correspondencia tiene que ser functorial.
Otro ejemplo es la abelianización de un grupo .
Un grupo abeliano es otro nombre para un grupo conmutativo. Dado que cada grupo abeliano es un grupo, es un functor de inclusión [matemática] I: \ mathcal A \ to \ mathcal G [/ math] de la categoría de grupos abelianos a la categoría de todos los grupos. Tiene un adjunto izquierdo [matemática] A: \ matemática G \ a \ matemática A. [/ Matemática] Toma un grupo [matemática] G [/ matemática] y devuelve su “Abelianización” [matemática] A (G). [ / matemática] Homomorfismos de grupo [matemática] A (G) \ a H [/ matemática] desde la abelianización de [matemática] [[matemática] a un grupo abeliano [matemática] H [/ matemática] corresponde a homomorfismos de grupo [matemática] G \ a H, [/ math] es decir,
[matemática] \ mbox {Hom} _ {\ matemática A} (A (G), H) \ cong \ mbox {Hom} _ {\ matemática G} (G, H). [/ matemática]
De hecho, [matemática] A (G) [/ matemática] puede construirse a partir de [matemática] G [/ matemática] como el grupo del cociente [matemática] G / [G, G] [/ matemática] donde [matemática] [G , G] [/ math] es el subgrupo conmutador de [math] G. [/ Math]
Quizás la importancia de los functores adjuntos es que el concepto reúne muchas construcciones de todas las matemáticas. Cuando lo sepa, puede buscar functores adjuntos cuando conozca nuevos campos.
