¡Al principio no me lo creía! ¿Cómo podría ser posible demostrar que es imposible escribir una fórmula para algo?
En realidad, la forma en que declaró el teorema no es correcta. El teorema de Galois no dice que no hay forma de resolver una quintica en absoluto, dice que hay ecuaciones quínticas que los radicales no pueden resolver.
Esta frase clave describe las operaciones específicas que puede usar, pero que en última instancia son insuficientes. A partir de los enteros, puede usar las operaciones de suma / resta, multiplicación, división y radicales (enésimas raíces). Puede combinar cualquier número de estas operaciones en el orden que desee, pero no puede agregar más operaciones a la lista.
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Para probar que esas operaciones específicas nunca lo llevarán a la respuesta, la clave es encontrar un invariante matemático que sea preservado por todos ellos.
¿Encontrar un qué?
Como está pidiendo una explicación laica, necesito desviarme y explicar qué es una invariante matemática. Considere el siguiente problema: tiene un tablero de ajedrez de 8 × 8 sin piezas. También tiene un suministro de fichas de dominó 2 × 1, donde cada ficha llena exactamente dos cuadrados adyacentes en el tablero de ajedrez. Su tarea es llenar el tablero de ajedrez completamente sin fichas de dominó superpuestas. Fácil, verdad? Simplemente póngalos todos verticalmente o algo así. Hecho.
OKAY. Esta vez, imagina que elimino dos esquinas opuestas del tablero de ajedrez. Ahora su tablero de ajedrez tiene 62 cuadrados en lugar de 64. Esto sigue siendo un número par de cuadrados, por lo que aún debería ser fácil cubrir el tablero con 31 fichas de dominó, ¿verdad?
¡INCORRECTO! Es imposible!
¿Cómo se esto? No me he molestado en intentarlo, ni siquiera en escribir un programa de computadora para probarlo por mí. En cambio, puedo demostrar que es imposible usar un invariante, que es algo que no cambia cuando se realiza una operación, en este caso “colocar un dominó”.
¿Qué no cambia cuando colocas un dominó? Bueno, la clave es notar que los cuadrados en un tablero de ajedrez son de colores claros y oscuros. Cada dominó, sin importar dónde lo coloque, cubre exactamente 1 cuadrado claro y 1 oscuro. Entonces, si L representa el número de cuadrados claros descubiertos, y D representa el número de cuadrados oscuros descubiertos, entonces la cantidad (L – D) nunca cambiará. Esa es nuestra invariante.
A partir de aquí, tenemos que notar una última cosa. Cuando quité las dos esquinas opuestas del tablero, quité dos cuadrados del mismo color . Digamos que ambos cuadrados eran oscuros; luego, después de eliminarlos, tendrías 32 cuadrados claros y 30 oscuros. Así L – D = 2, ahora y para siempre . No importa cuántas fichas de dominó coloque (o quite), no importa cuán inteligente intente ser, está atrapado con L – D = 2. Pero si el tablero pudiera estar cubierto, eso significaría L – D = 0. Vea ¿el problema? Nunca podrás resolver el rompecabezas, si la cantidad de cuadrados claros y oscuros no es la misma para empezar.
Está bien, así que de vuelta a Galois. El genio de Galois fue descubrir una invariante que no cambia cuando haces sumas, restas, multiplicaciones, divisiones o radicales. De hecho, es una invariante muy poco obvia, algo tan complicado que desafortunadamente no puedo explicarlo aquí en esta publicación de Quora, en ningún grado satisfactorio. ¡Tendrás que leer un libro sobre la teoría de Galois para eso! Sin embargo, esta es la mejor explicación laica que puedo reunir. Normalmente cuando pensamos en números, pensamos en el valor del número; es decir, cuán grande o pequeño es. El problema es que cualquier expresión que pueda escribir (como LD) que tenga que ver con el valor del número siempre cambiará cuando agregue, multiplique, haga radicales, etc., por lo que ese tipo de expresiones no tienen esperanza de ser invariante bajo tales operaciones. En cambio, tienes que trabajar con algo mucho más abstracto, que tiene que ver con las relaciones o simetrías de ese número con sus primos, ahora conocidos como sus Conjugados de Galois, que son todas las raíces del mismo polinomio. La invariante real, que nunca cambia cuando haces sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y radicales, es algo que se llama propiedad solucionable del grupo de Galois . Es una definición (nuevamente, bastante complicada) de la teoría de grupos, que es el lenguaje de la simetría en matemáticas. ¡Uf!
En resumen: no importa cuántas veces, o en qué orden, realice esas cinco operaciones (comenzando por los enteros), terminará con un número que tiene un grupo de Galois que se puede resolver . Por otro lado, también es posible demostrar que las soluciones de algunas ecuaciones quínticas (como [matemáticas] x ^ 5-x-2 = 0 [/ matemáticas]) no tienen un grupo de Galois que se pueda resolver. Entonces, es como romper las dos esquinas del tablero de ajedrez. Nunca llegarás a ese número sin importar cuántos movimientos hagas.
¡Espero que esto ayude! (Al menos un poco)
