Sí, hay tal conjetura, y de hecho hay muchas. En 1931, el matemático y filósofo Kurt Gödel demostró que en cualquier sistema formal suficientemente complejo, existen afirmaciones que no pueden demostrarse verdaderas y no pueden demostrarse falsas.
Primero debe comprender que todas las matemáticas se basan en un conjunto de supuestos básicos llamados axiomas. Los axiomas no pueden probarse como verdaderos o falsos. Son ciertas por suposición, porque si no hacemos al menos algunas suposiciones básicas, no hay nada que podamos probar. Por ejemplo, para formular los conceptos básicos de la geometría, el antiguo Euclides griego tuvo que asumir, entre otras cosas, que si tiene dos puntos, puede hacer una línea recta que los conecte.
La mayoría de las matemáticas actuales se basan en un conjunto de axiomas en la teoría de conjuntos conocida como teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), que consta de 9 axiomas sobre conjuntos (básicamente un conjunto es una colección de objetos). Este conjunto de axiomas establecidos por sus dos homónimos fue parte de un amplio esfuerzo de los matemáticos en el siglo XIX y principios del XX para hacer que las matemáticas fueran rigurosas y lógicamente herméticas. En teoría, todas las matemáticas que hacemos deben ser reducibles a estos axiomas y ser derivaciones lógicas de ellos. Estos axiomas se perfeccionaron con el tiempo, pero los matemáticos estaban frustrados porque había ciertos resultados que les gustaría ser ciertos que no podían probarse en la teoría.
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Ingrese el axioma de elección. El axioma de elección es difícil de describir en términos simples porque su contenido es muy complejo. Básicamente lo necesita para obtener ciertos resultados deseables sobre infinito e infinitas colecciones de conjuntos. El axioma de elección es independiente de los otros nueve axiomas, lo que significa que no puede probar que es verdadero o falso. Los matemáticos discutieron al respecto durante muchas décadas, pero finalmente llegaron al consenso de que deberíamos asumir que es verdad formar una nueva teoría de conjuntos: ZFC (la C significa Elección). Pero el teorema demostrado por Gödel muestra que incluso en esta nueva y mejorada teoría de conjuntos, ¡todavía hay cosas que no puedes probar que son verdaderas y que no puedes probar que son falsas!
Esto nos lleva a la hipótesis del continuo. Uno de los mejores resultados en matemáticas es que hay diferentes tamaños de infinito. Para una buena descripción de por qué esto es cierto, recomiendo Numberphile. Los números naturales (contando) son del mismo “tamaño” que los enteros (técnicamente llamados cardinalidad porque la idea del tamaño no tiene sentido para el infinito), que son del mismo tamaño que la colección de números racionales Pero en 1875, un matemático llamado Georg Cantor demostró que el conjunto de números reales no tiene el mismo tamaño que los números naturales. De hecho, ¡de alguna manera hay “más” números reales que números naturales! Eso todavía dejó una pregunta sin respuesta (realmente, muchas preguntas). ¿Existe un conjunto de números cuyo tamaño es mayor que los números naturales, pero más pequeños que los números reales? La hipótesis de Continuum dice que no: los números reales son el siguiente tamaño, y no hay tamaños intermedios. Para 1960, los matemáticos demostraron que esta afirmación, una vez más, no podía demostrarse verdadera o falsa con nuestra teoría de conjuntos ZFC.
A muchos matemáticos les gustaría asumir que esta Hipótesis Continua es cierta, por lo que tenemos una nueva teoría de conjuntos aún más grande para probar aún más teoremas. Es importante destacar que no hay nada de malo en suponer que no es cierto y llamar a su nueva teoría de conjuntos para probar aún más teoremas. Los matemáticos están explorando actualmente ambas vías. ¿Cómo decidimos cuál será el nuevo axioma, “CH es verdadero” o “CH es falso”? Principalmente, eso se reduce a ver qué resultados obtenemos de cada teoría y decidir por consenso cuál se alinea mejor con el mundo real o produce los resultados más deseables. Sin embargo, incluso una vez que lleguemos a un consenso sobre esto y obtengamos una nueva teoría de conjuntos más grande, ¡gracias a Gödel podemos estar seguros de que hay aún más cosas que no pueden demostrarse como ciertas y no pueden demostrarse como falsas!
Entonces, ¿cuántas conjeturas hay que nunca podamos probar que son verdaderas y nunca serán falsas? Básicamente, hay infinitos.
