¿Cuál es el significado de la periodicidad de Bott?

Aquí hay dos razones por las que puede interesarle la periodicidad de Bott:

I. Definir la teoría K como una teoría de la cohomología.

Diré esto en términos de la compleja teoría K, pero, por supuesto, lo mismo puede decirse de la teoría K real.

Probablemente la primera forma de ver la teoría K (topológica) definida es geométricamente, a través de paquetes de vectores: para un espacio [matemático] X [/ matemático], el conjunto de clases de isomorfismo de paquetes de vectores complejos sobre [matemático] X [/ matemático] forma un monoide bajo suma directa. El grupo grothendieck de este monoide se denota [math] K (X) [/ math]. Este es un functor contravariante de espacios a grupos abelianos ya que los paquetes de vectores se retiran. En particular, un punto base [matemático] * \ a X [/ matemático] determina un morfismo [matemático] d \ colon K (X) \ a K (*) [/ matemático]. Como de costumbre, definimos el grupo reducido [math] \ tilde K (X) \ mathrel {: =} \ ker (d) [/ math], que nuevamente define un functor contravariante de espacios puntiagudos a grupos abelianos.

No es difícil demostrar que una secuencia de cofibra [matemática] X \ a Y \ a Z [/ matemática] induce una secuencia exacta [matemática] \ tilde K (Z) \ a \ tilde K (Y) \ a \ tilde K ( Z) [/ math], lo que sugiere que podríamos estar viendo solo un grado de teoría de la cohomología, llamémoslo grado [math] 0 [/ math]. Si queremos que sea una teoría de la cohomología, nos vemos obligados a hacer la definición [matemática] \ tilde K ^ n (X) \ mathrel {: =} \ tilde K (\ Sigma ^ n X) [/ math] para [matemáticas] n <0 [/ matemáticas], pero ¿cómo podemos definirlo en grados positivos?

Aquí es donde la periodicidad nos ahorra: el teorema establece que [matemáticas] \ tilde K (\ Sigma ^ 2 X) \ simeq \ tilde K (X) [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] \ tilde K ^ {n-2} ( X) \ simeq \ tilde K ^ n (X) [/ math] como lo hemos definido para [math] n \ le 0 [/ math]. ¡Pero podemos usar la misma periodicidad para definirlo para [math] n> 0 [/ math]! Entonces [matemática] \ tilde K ^ n (X) \ simeq \ tilde K (X) [/ matemática] para todos [matemática] n [/ matemática] par y [matemática] \ tilde K ^ n (X) \ simeq \ tilde K (\ Sigma X) [/ math] para todos [math] n [/ math] impar.


Aquí hay otra perspectiva sobre (realmente solo una reformulación de) la misma declaración:

Uno muestra que el functor [math] \ tilde K [/ math] es representable en la categoría de homotopía puntiaguda por un cierto espacio [math] BU \ times \ mathbb {Z} [/ math], es decir, [math] \ tilde K (X) \ simeq [X, BU \ times \ mathbb {Z}] [/ math] donde [math] [-, -] [/ math] denota clases de homotopía de mapas puntiagudos. Nuevamente, es fácil definir la teoría K en grados negativos: [matemáticas] \ tilde K ^ n (X) \ simeq [\ Sigma ^ n X, BU \ times \ mathbb {Z}] \ simeq [X, \ Omega ^ n (BU \ times \ mathbb {Z})] [/ math]. Desde esta perspectiva, para definir la teoría K en grados positivos, necesitamos demostrar que [math] BU \ times \ mathbb {Z} [/ math] es un espacio de bucle infinito, de modo que tenemos una secuencia de espacios [math] A_1, A_2, \ ldots [/ math] tal que [math] \ Omega A_1 \ simeq BU \ times \ mathbb {Z} [/ math] y [math] \ Omega A_ {n + 1} \ simeq A_n [/ math], y luego podemos definir [math] \ tilde K ^ n (X) \ mathrel {: =} [X, A_n] [/ math] para [math] n> 0 [/ math].

Pero la periodicidad de Bott dice que [matemáticas] \ Omega ^ 2 (BU \ veces \ mathbb {Z}) \ simeq \ Omega U \ simeq BU \ veces \ mathbb {Z} [/ matemáticas], lo que fácilmente implica [matemáticas] BU \ times \ mathbb {Z} [/ math] es un espacio de bucle infinito.

II El homomorfismo J

Un elemento de [math] O (d) [/ math] es un mapa lineal [math] \ mathbb {R} ^ d \ to \ mathbb {R} ^ d [/ math], que induce un mapa puntiagudo en el compactaciones de puntos [matemática] S ^ d \ a S ^ d [/ matemática]. Esto define un mapa [matemático] O (d) \ a \ Omega ^ dS ^ d [/ matemático], y por lo tanto asigna [matemático] \ pi_k (O (d)) \ a \ pi_k (\ Omega ^ dS ^ d) \ simeq \ pi_ {k + d} (S ^ d) [/ math]. Es fácil verificar que los mapas [math] O (d) \ to \ Omega ^ dS ^ d [/ math] son ​​compatibles con las inclusiones [math] O (d) \ to O (d + 1) [/ math] y mapas de suspensión [matemática] \ Omega ^ dS ^ d \ to \ Omega ^ {d + 1} S ^ {d + 1} [/ matemática], por lo que de hecho obtenemos un mapa [matemática] \ pi_k (O) \ to \ pi_k (S) [/ math], donde el lado derecho es el [math] k [/ math] -th grupo de homotopía estable del espectro de la esfera.

Este mapa se denota [math] J [/ math] y se llama homomorfismo J, y nos dice que conocer los grupos de homotopía de [math] O [/ math], que provienen de la periodicidad de Bott, puede darnos información sobre el grupos estables de esferas de homotopía, de los cuales siempre queremos saber más. La cantidad de información que nos proporciona fue determinada por Adams en su trabajo sobre la imagen del homomorfismo J, que definitivamente debería leer en otro lugar.