Hay al menos dos razones por las que debería preocuparse por el teorema de suspensión de Freudenthal. Una es que le permite calcular [math] \ pi_nS ^ n [/ math] para todas [math] n \ ge 1 [/ math]. Otro es que puede usarlo para mostrar que los grupos de homotopía se ‘estabilizan’, lo que le da una oportunidad para determinar los grupos de espacios de homotopía más altos, incluidas las esferas más importantes. Haremos esto preciso más tarde.
Primero, considere la secuencia [math] \ pi_1S ^ 1 \ to \ pi_2S ^ 2 \ to \ pi_3S ^ 3 \ to \ cdots [/ math]
El teorema de la suspensión nos dice que el primer mapa es una sobreposición y el resto son isomorfismos. Ahora [math] \ pi_1S ^ 1 = \ mathbb {Z} [/ math] generado por el mapa de identidad, por lo que el resto de los grupos son cíclicos e independientes de [math] n [/ math]. Hay dos formas de proceder desde aquí. Podríamos usar el paquete Hopf y el LES de una fibración, o dar un argumento de grado. Nosotros hacemos lo posterior. Existen mapas de preservación de puntos base [matemática] S ^ n \ a S ^ n [/ matemática] de grado arbitrario, y el grado es invariante de homotopía (todo esto se deduce del hecho de que el mapa [matemático] S ^ 1 \ a S ^ 1 [/ math] que envía un número complejo [math] z [/ math] a [math] z ^ d [/ math] es de grado [math] d [/ math], y esa suspensión induce un isomorfismo en homología reducida de grado uno mayor). Por lo tanto, los grupos deben ser infinitos cíclicos y el primer mapa es un isomorfismo. Entonces tenemos [math] \ pi_nS ^ n \ cong \ mathbb {Z} [/ math] para [math] n \ ge 1 [/ math].
Para algunos [matemáticos] j [/ matemáticos] fijos, el functor de suspensión proporciona una secuencia [matemática] \ pi_j X \ to \ pi_ {j + 1} \ Sigma X \ to \ cdots \ to \ pi_ {j + k} \ Sigma ^ k X \ to \ pi_ {j + k + 1} [/ math] [math] \ Sigma ^ {k + 1} X \ to \ cdots [/ math]
Otra forma de establecer el teorema de la suspensión es que estos mapas son eventualmente isomorfismos, digamos para [math] k \ ge K [/ math] para algunos [math] K [/ math]. Si [math] X [/ math] está conectado [math] n [/ math], el número mágico es [math] K = j-2n [/ math], ya que el mapa es un isomorfismo cuando [math] j + k \ le2 (n + k) [/ math], ya que la suspensión aumenta la conectividad en 1 (esto también se deduce del teorema, ya que el rango para el que los mapas son isomorfismo está dentro del permitido por el teorema).
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Si [matemática] X = S ^ 0 [/ matemática], el mapa de suspensión [matemática] \ pi_ {j + k} S ^ k \ to \ pi_ {j + k + 1} {S ^ {k + 1}} [/ math] es un isomorfismo cada vez que [math] j + k \ le 2 (k-1) [/ math] o cuando [math] j + 2 \ le k [/ math]. Estos grupos son lo suficientemente importantes como para que les demos un nombre. El grupo [math] \ pi_ {j + k} S ^ k [/ math] se llama el grupo de esferas de homotopía [math] j [/ math] th. Se denota [math] \ pi_j ^ s \ mathbb {S} [/ math].
