La regla que le permite derivar una declaración arbitraria de una inconsistencia se llama ex falso quodlibet, ex contradictione quodliber o explosión. Un sistema que carece de esta regla se llama paraconsistente. Por lo general, cuando los estudiantes aprenden la lógica por primera vez, usted aprende la lógica clásica, en la que se cumple esta regla y, hasta que aprenda de otros sistemas, es fácil suponer que las leyes de la lógica clásica son leyes de la lógica, punto.
Así es como la regla puede justificarse dentro de la lógica clásica.
La lógica tiene que ver con la validez. Un argumento es válido si y solo si es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Las contradicciones son imposibles, por lo que un argumento es válido si es contradictorio afirmar las premisas y negar la conclusión. Pero, si es contradictorio afirmar las premisas, es contradictorio afirmar las premisas y negar la conclusión.
Aquí hay un ejemplo de un argumento válido. Todos los elefantes son rosados, Nelly es un elefante. Por lo tanto, Nelly es rosa.
Si niego la conclusión de que Nelly es rosa, entonces estoy diciendo que Nelly no es rosa. O ella es un elefante no rosado, que contradice la premisa 1, o ella no es un elefante, que contradice la premisa 2. Entonces, si afirmo la conclusión y niego las premisas, me he contradecido.
Sin embargo, aunque este es un argumento válido, no es una prueba de que Nelly sea rosa, porque no he probado que todos los elefantes sean rosados, ni que Nelly sea un elefante. Para probar algo en un sistema, no solo necesito un argumento válido, necesito un argumento válido a partir de premisas que hayan sido probadas en el sistema. (Podemos tratar los axiomas del sistema como pruebas de sí mismos). Si el sistema es consistente, no puedo probar premisas contradictorias para empezar. Entonces, aunque puedo decir que si las premisas contradictorias fueran ciertas, se seguiría una conclusión arbitraria, no puedo usar esto para probar una conclusión arbitraria, porque nunca puedo probar que las premisas contradictorias son verdaderas .
Esto, de hecho, proporciona una ruta para demostrar que el sistema es consistente. Si puedo demostrar, para algún sistema L, que alguna proposición arbitraria, A, no se puede probar en L, y si la ley de ex contradictione quodlibet se cumple en L, entonces sé que L no contiene contradicciones, porque si lo hiciera, sería posible probar A en L.
Finalmente, déjenme repasar el punto sobre cómo la definición de validez me lleva a una derivación de una proposición arbitraria. Es una contradicción decir que Nelly es un elefante y Nelly no es un elefante. Por lo tanto, también es una contradicción decir que Nelly es un elefante y Nelly no es un elefante y Barry es una foca. Agregar a Barry a una declaración contradictoria me deja con una declaración contradictoria. Así que considera que Nelly es un elefante, Nelly no es un elefante, por lo tanto, Barry es un sello. Si niego que Barry es un sello y afirmo las premisas, entonces digo que Nelly es y no es un elefante y Barry es un sello, lo cual es contradictorio.
En la lógica clásica, si puedo demostrar una contradicción en L, entonces lo que he demostrado es que L es inútil como sistema lógico. Tanto peor para L. Las personas que creen que las contradicciones pueden ser ciertas (dialeístas) prefieren adoptar alguna forma de lógica paraconsistente.
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En un sistema lógico, tiene un conjunto de reglas que nos permiten saber qué cadenas de símbolos son fórmulas bien formadas y qué fórmulas bien formadas son teoremas. Las fórmulas bien formadas generalmente se interpretan como proposiciones de expresión, y los teoremas como proposiciones que se prueban en el sistema. Si todas las fórmulas bien formadas son teoremas, el sistema es trivial. Podemos usar el sistema para probar cualquier proposición arbitraria que pueda expresarse en el sistema.
Si el sistema incluye la regla ex contradictione quodlibet, entonces si es inconsistente, también es trivial. La lógica clásica contiene esta regla, al igual que algunas lógicas no clásicas. Las lógicas paraconsistentes no tienen esta regla, por lo que la inconsistencia, para tales sistemas, no conduce a la trivialidad.
La pregunta pregunta, en efecto, por qué las contradicciones conducen a la trivialidad. Esto no se cumple en todos los sistemas de lógica, pero quería explicar, en mi respuesta, por qué tantos lógicos dieron por sentado esta regla durante tanto tiempo. La regla está motivada por ciertas ideas sobre la naturaleza de la validez.
