En términos simples, ¿qué es un conjunto “clopen”?

Es un conjunto abierto y cerrado. O, en otras palabras, es un conjunto que está abierto y su complemento también está abierto. La confusión aquí es que la teoría de conjuntos abierta y cerrada no son antónimos, solo palabras.

Otra comprensión intuitiva de un conjunto de clopen es un conjunto que tiene un límite vacío. La intuición del límite es un punto que puede abordarse tanto desde el interior de un conjunto como desde el exterior del conjunto.

Por ejemplo, en [math] \ mathbf {R} [/ math], tanto el conjunto vacío como la línea real completa son clopen.

Otra sutil distinción es que debes considerar el espacio al que pertenece el conjunto. Por ejemplo, si [math] \ mathbf {Q} [/ math] es el conjunto de todos los números racionales, podemos definir el conjunto
[matemáticas] M = \ {s: s ^ 2> \ sqrt {3} \} [/ matemáticas].

El conjunto [math] M [/ math] es clopen con respecto al espacio [math] \ mathbf {Q} [/ math] (esto se deduce de la densidad de los números racionales, es decir, entre dos valores, uno puede encontrar otro número racional), pero ni abierto ni cerrado con respecto a la línea real completa.