¿Cuál es la diferencia entre axiomas y postulados?

Euclides nunca usó la palabra axioma, pero ahora se entiende que sus nociones comunes son axiomas. Se suponía que eran verdades evidentes, como “Cuando se agregan iguales a iguales, los resultados son iguales”. Los postulados están destinados a no ser tan obvios y a definir las posibles construcciones. Euclides postula construcciones de regla y compás, que resultan para permitir la suma, resta, multiplicación y división de longitudes, y tomar raíces cuadradas, pero no otras funciones como la raíz cúbica. En los tiempos modernos, estas eran las funciones proporcionadas en cada calculadora electrónica de cinco funciones.

Los primeros tres postulados en geometría euclidiana afirman que es posible una construcción de regla o compás.

1. Un segmento de línea que une dos puntos.
2. Extendiendo un segmento de línea
3. Un círculo con un centro y radio dados

Los postulados cuarto y quinto son considerablemente menos obvios que los axiomas.

• Todos los ángulos rectos son congruentes.
• El postulado paralelo, que es indecidible a partir de los axiomas.

Otros geómetras del período postularon la existencia de varias curvas que permitieron soluciones a problemas que la geometría euclidiana no podía abordar, incluida la duplicación del cubo (lo que ahora llamaríamos una curva cúbica, la gráfica de un polinomio cúbico, para construir raíces cúbicas). ) o la trisección de ángulos.

La geometría sólida euclidiana requiere más postulados.

• Áreas planas, particularmente los interiores de triángulos y círculos.
• Extensión de áreas planas
• Esferas con centro y radio dados
• Los ángulos sólidos rectos delimitados por tres planos son congruentes.

No se necesita una extensión del postulado paralelo. Dada la existencia de líneas paralelas, es fácil construir planos paralelos.

Apolonio de Perga en las Secciones Cónicas asumidas en las definiciones, pero no declararon como postulados que se puede construir un cono uniendo cualquier círculo a cualquier punto que no esté en el mismo plano con él, y que se puede construir una sección cónica como la intersección de cualquier cono. y cualquier avion.

En el uso moderno, no hay distinción entre un axioma y un postulado. Ya no se consideran verdades evidentes, sino definiciones. Los axiomas y postulados de Euclides definen la geometría euclidiana, y al cambiar un postulado podemos definir las dos geometrías no euclidianas. Ahora hay muchas otras geometrías, como las geometrías proyectivas, las geometrías de dimensiones superiores, el espacio de Hilbert de dimensiones infinitas y las geometrías del espacio-tiempo plano de Minkowski en la relatividad especial y el espacio-tiempo curvado en la relatividad general. La topología generaliza la idea de una geometría a una clase de espacios mucho más amplia. Los sistemas de axiomas para estructuras algebraicas forman otro campo de investigación muy amplio, al igual que los sistemas de axiomas para lógica, aritmética y teoría de conjuntos.

Además, hay esto.

“Las ventajas del método de postulación son excelentes. Son las mismas que las ventajas del robo sobre el trabajo honesto”.

Bertrand Russell

Basado en la lógica, un axioma o postulado es una declaración que se considera evidente. Se supone que tanto los axiomas como los postulados son verdaderos sin ninguna prueba o demostración. Básicamente, algo que es obvio o declarado como verdadero y aceptado pero que no tiene pruebas de ello, se llama axioma o postulado.

Permítanme comenzar con dos ejemplos, uno para cada uno.

1. Axiomas Zermello-Frankel. Estos son los axiomas definidos por los matemáticos anteriores para contrarrestar la naturaleza incompleta de los axiomas lógicos. Entonces, los axiomas son generalizaciones de cómo se forma una estructura abstracta.
2. Postulado paralelo de Euclides. Esto dice si dos líneas que pasan por dos puntos paralelas entre sí nunca se encuentran. Entonces, los postulados son descripciones de características o inevitabilidad de las abstracciones de la naturaleza natural.

Los postulados son los supuestos que uno toma al resolver un problema de la ciencia. Mientras que el axioma es evidentemente cierto debido a algún teorema y cuya prueba es trivial.

Por ej. –

Postulados en el modelo de átomo de Bohr. Bohr tomó algunas suposiciones cuando trató de formular cosas y luego las razonó utilizando el resultado experimental. Los postulados tomados pueden o no ser correctos, son meras suposiciones.

La suma es conmutativa (x + y = y + x) es un axioma. Su prueba es trivial y sabemos con certeza que es cierto.

Son prácticamente intercambiables en términos modernos de matemáticas.