Si [matemática] a + b + c = n [/ matemática] y [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemática], el producto [matemática] abc [/ matemática] puede tener diferentes números de soluciones . Para qué tipo de número es [math] n [/ math], el producto [math] abc [/ math] solo puede tener 1 solución?

Los primitivos triples pitagóricos [matemática] (a, b, c) [/ matemática] dan lugar a un conjunto de valores de [matemática] n = a + b + c [/ matemática] para los cuales existen soluciones primitivas.

Definamos [matemática] p_1 [/ matemática], [matemática] p_2 [/ matemática], [matemática] p_3 [/ matemática] etc. como los valores de [matemática] n [/ matemática] para los cuales existen soluciones primitivas.

Estos son los primeros valores de [math] p_i [/ ​​math], con sus triples primitivos:

p01 = 12 (3, 4, 5)
p02 = 30 (5, 12, 13)
p03 = 40 (8, 15, 17)
p04 = 56 (7, 24, 25)
p05 = 70 (20, 21, 29)
p06 = 84 (12, 35, 37)
p07 = 90 (9, 40, 41)
p08 = 126 (28, 45, 53)
p09 = 132 (11, 60, 61)
p10 = 144 (16, 63, 65)
p11 = 154 (33, 56, 65)
p12 = 176 (48, 55, 73)
p13 = 182 (13, 84, 85)
p14 = 198 (36, 77, 85)
p15 = 208 (39, 80, 89)
p16 = 220 (20, 99,101)
p17 = 234 (65, 72, 97)
p18 = 240 (15,112,113)

Los llamo ‘[math] p [/ math]’ porque son muy parecidos a los números primos para esta pregunta.

Ahora debemos tener en cuenta que si un valor particular de [math] n [/ math] tiene una solución, entonces también lo tendrá cualquier número entero, [math] kn [/ math], donde [math] k \ in \ mathbb {N} ^ {+} [/ matemáticas].

Entonces, si elegimos un valor [matemático] n [/ matemático], parece que podemos determinar instantáneamente el número de soluciones al encontrar cuántos valores diferentes de [matemático] p_i [/ ​​matemático] dividen [matemático] n [/ matemático] .

Podemos decir que para [matemáticas] n = 12 [/ matemáticas], [matemáticas] n = 24 [/ matemáticas], [matemáticas] n = 36 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 48 [/ matemáticas] hay exactamente una solución porque solo [math] p_1 [/ math] divide estos números.

Sin embargo, para [matemática] n = 60 [/ matemática] tenemos [matemática] p_1 [/ matemática] y [matemática] p_2 [/ matemática] como divisores ‘primos’ y, por lo tanto, tenemos dos soluciones: [matemática] (15,20 , 25) [/ matemáticas] y [matemáticas] (10,24,26) [/ matemáticas].

Y para [matemáticas] n = 120 [/ matemáticas] tenemos tres soluciones.

No es tan simple como eso. En realidad, algunos valores raros de n dan más de un triple primitivo. El primero de estos [math] n [/ math] es [math] 1716 [/ math] que tiene [math] (195,748,773) [/ math] y [math] (364,627,725) [/ math].

Entonces, de hecho, para cada ‘primo’ [matemático] p_i [/ ​​matemático], necesitamos una ‘multiplicidad’ [matemático] q_i [/ ​​matemático] para el número de triples primitivos que da lugar. La mayoría de los valores [math] q_i [/ ​​math] son ​​[math] 1 [/ math]. Aquí hay una lista de los que son mayores (todos con [matemática] q_i = 2 [/ matemática]), hasta [matemática] n = 10000 [/ matemática].

p120 = 1716 (195,748, 773) (364, 627, 725)
p186 = 2652 (51,1300,1301) (340,1131,1181)
p269 = 3876 (627,1564,1685) (988,1275,1613)
p275 = 3960 (88,1935,1937) (935,1368,1657)
p298 = 4290 (65,2112,2113) (1248,1265,1777)
p361 = 5244 (483,2356,2405) (1012,1995,2237)
p395 = 5700 (75,2812,2813) (700,2451,2549)
p396 = 5720 (312,2695,2713) (1495,1848,2377)
p475 = 6900 (1275,2668,2957) (1900,2139,2861)
p476 = 6930 (880,2961,3089) (1001,2880,3049)
p551 = 8004 (435,3772,3797) (1276,3243,3485)
p599 = 8700 (1131,3700,3869) (1972,3075,3653)
p643 = 9300 (651,4300,4349) (1612,3675,4013)
p669 = 9690 (665,4488,4537) (2465,3192,4033)

Entonces, dado [matemática] n [/ matemática], el número de triples posibles, [matemática] T = \ sum \ {q_i: p_i | n \} [/ matemática].

Esto deja varias preguntas sin respuesta:

1. ¿Existe una forma ‘simple’ de calcular los valores [matemáticos] p_i [/ ​​matemáticos], es decir, los valores de [matemáticos] n [/ matemáticos] que dan lugar a triples primitivos?
2. ¿Hay alguna forma de calcular cuántos triples, [matemática] q_i [/ ​​matemática], surgen para cada [matemática] p_i [/ ​​matemática]?
3. Si tengo dos o más triples posibles para un valor particular de [math] n [/ math], ¿tienen todos ellos diferentes productos, [math] abc [/ math]?

Sospecho que las dos primeras preguntas son muy difíciles y que la tercera es fácil.

EDITAR: Sí, es bastante simple mostrar que cada solución diferente para un valor particular de [math] n [/ math] conduce a un valor diferente para el producto [math] abc [/ math].

Dado [matemática] n [/ matemática], podemos elegir valores para [matemática] a [/ matemática] y calcular [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] en términos de [matemática] n [ / math] y [math] a [/ math].

Se nos da: [matemáticas] \ quad c + b = na \ quad [/ matemáticas] y [matemáticas] \ quad c ^ 2-b ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas].

[matemáticas] cb = \ frac {c ^ 2-b ^ 2} {c + b} = \ frac {a ^ 2} {na} [/ matemáticas]

Por lo tanto, sabemos [matemáticas] c + b [/ matemáticas] y [matemáticas] cb [/ matemáticas] y podemos resolver las ecuaciones simultáneas para dar:

[matemáticas] b = \ frac {n (n-2a)} {2 (na)} \ quad [/ matemáticas] y [matemáticas] \ quad c = \ frac {(na) ^ 2 + a ^ 2} {2 (na)} [/ matemáticas]

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que [matemáticas] a

[matemáticas] a

Podemos resolver esta cuadrática en [matemáticas] a [/ matemáticas] para mostrar que [matemáticas] a <(1- \ frac {\ sqrt {2}} {2}) n [/ matemáticas].

Creo que esta pregunta está relacionada con una pregunta que respondí hace un par de días:

Si a + b + c = n y a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, ¿es posible expresar ‘abc’ en términos de n? Pude obtener 2abc = n ^ 2–2nc. Pero no hay más progreso.

Entonces, creo que en esta pregunta se entiende lo siguiente: [matemática] a, b, c, [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] se supone que son enteros positivos. Para algunos [math] n [/ math] no hay soluciones. Para otros, hay soluciones [matemáticas] (a_1, b_1, c_1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (a_2, b_2, c_2) [/ matemáticas] tales que [matemáticas] a_1b_1c_1 \ neq a_2b_2c_2 [/ matemáticas]. Y ahora queremos saber para qué [matemáticas] n [/ matemáticas] hay soluciones, pero el último caso no puede ocurrir. Si, por ejemplo, [matemáticas] n = 12 [/ matemáticas], solo tenemos dos soluciones, a saber, [matemáticas] (a, b, c) = (3,4,5) [/ matemáticas] o [matemáticas] ( a, b, c) = (4,3,5) [/ matemáticas]. Entonces, para [matemáticas] n = 12 [/ matemáticas], definitivamente podemos decir que [matemáticas] abc = 60 [/ matemáticas].

No sé si hay una manera simple de saber si algunas [matemáticas] n [/ matemáticas] da o no un valor único de [matemáticas] abc [/ matemáticas]. Así que solo algunos pensamientos.

Las soluciones generales (podríamos tener que cambiar los rollos de [math] a [/ math] y [math] b [/ math], pero eso no afecta el producto [math] abc [/ math]) toman la forma

[matemáticas] a = k (l ^ 2-m ^ 2), \ quad b = 2klm, \ quad c = k (l ^ 2 + m ^ 2), [/ matemáticas]

donde [math] k, l, m [/ math] son ​​enteros positivos con [math] l> m. [/ math] También [math] l [/ math] y [math] m [/ math] son ​​números coprimos y no ambos impares (verifique Pitágoras triple – Wikipedia). Resulta que

[matemáticas] n = a + b + c = 2kl (l + m), \ quad abc = 2k ^ 3 lm (l ^ 4-m ^ 4). [/ matemáticas]

Está algo claro que si [matemática] n [/ matemática] tiene muchos factores primos, es probable que encontremos múltiples combinaciones posibles de [matemática] (k, l, m) [/ matemática] que a menudo conducirán a valores diferentes de [matemáticas] abc [/ matemáticas]. Pero no veo un patrón general cuando [math] abc [/ math] es único.

Solo para dar algunas [matemáticas] n [/ matemáticas] especiales donde este es el caso, supongamos que tenemos primos gemelos [matemáticas] (p, p + 2) [/ matemáticas] (es decir, [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] p + 2 [/ matemáticas] son ​​primos). Si [matemáticas] n = 2p (p + 2), [/ matemáticas] tenemos

[matemáticas] n = 2p (p + 2) = 2kl (l + m). [/ matemáticas]

Como [math] l> m \ geq 1 [/ math] podemos deducir [math] k = 1, l = p, m = 2. [/ Math] Por supuesto [math] l [/ math] y [math] m [/ math] son ​​números coprimos y obviamente no son impares. Entonces para ese tipo de números obtenemos

[matemáticas] abc = 4p (p ^ 4-16). [/ matemáticas]

Si pudieras probar la conjetura del primo gemelo que al menos te daría infinitamente [matemáticas] n [/ matemáticas] 😉

Si tratamos a, b, c como 3 variantes en un sistema de coordenadas tridimensional

Luego

a + b + c = n. significa un avión

a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2 = 0 significa dos superficies cómicas circulares.

si desea que abc tenga un valor, podemos cambiar n, como traducir la superficie de acuerdo con la cantidad del vector (1,1,1) y un punto es superficie compartida y superficies circulares.

Solo n = 0, el plano pasa por el punto (0,0,0).

Primero debe estar familiarizado con la geometría del espacio y las posiciones de dos formas.

De otra manera:

c = nab

Entonces a ^ 2 + b ^ 2 = (nab) ^ 2

abc = -n (a + bn) (a + bn / 2)

abc solo tiene una solución, a, b puede ser cada número,

Entonces (a + bn) (a + bn / 2) puede ser muchos números

Por lo tanto, debe n = 0 para hacer a, b no puede afectar las soluciones.

Esta es una pregunta de cuántos triángulos rectángulos con lados enteros tiene el perímetro n.

Parece que la solución de este problema está cerca de ser globalmente difícil de alcanzar. Echa un vistazo a esta página web:

Triángulos y Triples de Pitágoras

A009096 – OEIS también proporciona esta lista de perímetros de triángulos pitagóricos:

12,24,30,36,40,48,56,60,60,70,72,80,84,84,90,90,
96,108,112,120,120,120,126,132,132,140,144,144,
150,154,156,160,168,168,168,176,180,180,180,182,
192,198,200,204,208,210,210,216,220,224,228,234,
240,240,240,240,252,252

Tome [math] n = 0 \ Rightarrow c = – (a + b) \ Rightarrow a ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 \ Rightarrow 2ab = 0 \ Rightarrow (a = 0 \ vee b = 0 ) \ Rightarrow abc = 0 [/ math]