¿Cuál es la definición moderna de las matemáticas?

No conozco la definición moderna de las matemáticas, pero si quieres saber de qué se trata realmente la matemática, te recomiendo Un lamento matemático de Paul Lockhart. Aquí hay un extracto:

Lo primero que hay que entender es que las matemáticas son un arte. La diferencia entre las matemáticas y las otras artes, como la música y la pintura, es que nuestra cultura no lo reconoce como tal.
[…] Parte del problema es que nadie tiene la menor idea de lo que hacen los matemáticos. La percepción común parece ser que los matemáticos están de alguna manera conectados con la ciencia, tal vez ayudan a los científicos con sus fórmulas o alimentan grandes números a las computadoras por alguna razón u otra. No hay duda de que si el mundo tuviera que dividirse en “soñadores poéticos” y “pensadores racionales”, la mayoría de las personas colocarían a los matemáticos en la última categoría.

Sin embargo, el hecho es que no hay nada tan soñador y poético, nada tan radical, subversivo y psicodélico como las matemáticas. Es tan alucinante como la cosmología o la física (los matemáticos concibieron los agujeros negros mucho antes de que los astrónomos realmente encontraran alguno), y permite más libertad de expresión que la poesía, el arte o la música (que dependen en gran medida de las propiedades del universo físico). La matemática es la más pura de las artes, así como la más incomprendida.
Permítanme tratar de explicar qué son las matemáticas y qué hacen los matemáticos. Apenas puedo hacerlo mejor que comenzar con la excelente descripción de GH Hardy:
Un matemático, como un pintor o poeta, es un creador.
de patrones. Si sus patrones son más permanentes que
la suya, es porque están hechos con ideas.

La otra parte que necesita escuchar para comprender completamente la respuesta de Igor Markov es que los matemáticos son personas que hacen matemáticas.

Las matemáticas son lo que hacen los matemáticos (¡en serio!)