La función de forma se aproxima a la variable solución entre dos puntos nodales. La interpolación puede ser lineal, cuadrática, cúbica o de orden superior.
El polinomio de interpolación de Lagrange para [math] {n} [/ math] puntos viene dado por
[matemáticas] P (x) = \ sum_ {j = 1} ^ {n} N_ {j} (x) u_ {j} [/ matemáticas]
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donde [matemáticas] N_ {j} = \ prod_ {k = 1, k \ neq j} ^ {n} \ frac {x_ {k} -x} {x_ {k} -x_ {i}} [/ matemática] es la función de forma
En aras de la simplicidad y la comprensión, calculemos una función de forma cuadrática para un elemento en 1-D y necesitaremos tres puntos nodales [matemática] x_ {1}, x_ {2} [/ matemática] y [matemática] x_ {3} [/ math] para el cálculo.
[matemáticas] N_ {1} (x) = (\ frac {x_ {2} -x} {x_ {2} -x_ {1}}) (\ frac {x_ {3} -x} {x_ {3} -x_ {1}}) \\\\ N_ {2} (x) = (\ frac {x_ {1} -x} {x_ {1} -x_ {2}}) (\ frac {x_ {3} -x} {x_ {3} -x_ {2}}) \\\\ N_ {3} (x) = (\ frac {x_ {1} -x} {x_ {1} -x_ {3}}) (\ frac {x_ {2} -x} {x_ {2} -x_ {3}}) [/ math]
Aplicando la fórmula para un espacio paramétrico 1-D simple [matemática] \ eta [/ matemática] como se muestra en el diagrama donde [matemática] \ eta_ {1} = -1, \ eta_ {2} = 0 [/ matemática] y [matemáticas] \ eta_ {3} = 1 [/ matemáticas], obtenemos
[matemáticas] N_ {1} (\ eta) = \ frac {1} {2} (\ eta-1) \ eta \\\\ N_ {2} (\ eta) = 1- \ eta ^ {2} \ \\\ N_ {3} (\ eta) = \ frac {1} {2} (1+ \ eta) \ eta [/ math] 
