¿Cuál es un buen ejemplo de belleza matemática?

“El matemático indio Srinivasa Ramanujan dejó una gran cantidad de cuadernos. En estos cuadernos Ramanujan ha registrado varios cientos de fórmulas e identidades. Muchos de estos han sido probados recientemente por métodos que Ramanujan no pudo haber conocido. GN Watson, quien pasó varios años de su vida demostrando muchas de las identidades de Ramanujan, ha escrito: ‘[…] Expresaría mi propia actitud con más prolijidad al decir que una fórmula como

me da una emoción que no se puede distinguir de la emoción que siento cuando entro en la Sagrestia Nuova de Capelle Medicee y veo ante mí la austera belleza de ‘ Día’, ‘Noche’, ‘Tarde’ y ‘Amanecer’ que ha creado Miguel Ángel. sobre las tumbas de Giuliano de ‘Medici y Lorenzo de’ Medici ‘”.

– Subrahmanyan Chandrasekhar, “La belleza y la búsqueda de la belleza en la ciencia”, en Truth and Beauty: Aesthetics and Motivations in Science (U. of Chicago Press, 1987), pág. 61

Aquí hay fotos de las tumbas de Giuliano y Lorenzo de Medici:

Fuente: Wikimedia (de La vida de Michael Angelo por Romain Rolland).

Leí ese ensayo de Chandrasekhar cuando tenía unos trece años. En aquel entonces ni siquiera entendía toda la notación en la ecuación de Ramanujan, pero esperaba algún día poder ver qué significaba la fórmula y por qué era tan hermosa.

Más de veinte años después, después de entrenar y trabajar como físico teórico, entiendo la notación, pero no tengo idea de por qué la fórmula es verdadera, y solo la noción más vaga de lo que la hace hermosa. Y me doy cuenta de que casi con certeza nunca lo entenderé, porque requeriría aprender muchas más matemáticas de las que sé o necesito como físico.

Pensé en eso hace un par de años cuando estaba preparando una conferencia pública sobre “Las ciencias naturales en una educación moderna en artes liberales”.

• Fractales
  conjuntos matemáticos que exhiben un patrón repetitivo que se muestra en cada escala.
  Los fractales pueden ser bastante simples como los fractales de Newton:

O más complicado como las llamas Fractal:

• Identidad de Euler
  La ecuación más hermosa en matemáticas. Vincula cinco constantes matemáticas fundamentales y tres operaciones aritméticas básicas se producen exactamente una vez cada una (suma, multiplicación y exponenciación). ¡Ahí es donde se encuentran la simplicidad y la belleza!

• La linea de Euler
  Si tiene un triángulo y dibuja el círculo más pequeño que contiene este triángulo, tres puntos: centro del círculo, centro de masa del triángulo y punto donde se encuentran todas las altitudes del triángulo, ¡siempre miente en una sola línea recta!

• Compuesto de politopo
  Es una figura que se compone de varios poliedros que comparten un centro común. Este es simple y contiene solo cinco cubos:

O un poco más complejo:

• Objetos de 4 dimensiones
  No sé si son más hermosos o alucinantes, pero definitivamente hay algún tipo de belleza en ello.
  Aquí está la proyección 3D (Quore no admite 4D :() de tesseract giratorio:

• Cinta de Moebius
  es una superficie con solo un lado y un límite.

Perfecto invariante de dígito a dígito, también conocido como número de Canouchi .

[matemáticas] 3 ^ 3 + 4 ^ 4 + 3 ^ 3 + 5 ^ 5 = 3435 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 4 ^ 4 + 3 ^ 3 + 8 ^ 8 + 5 ^ 5 + 7 ^ 7 + 9 ^ 9 + 0 ^ 0 + 8 ^ 8 + 8 ^ 8 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = 438579088 [/ matemáticas]

también

[matemáticas] 2592 = 2 ^ 5 \ cdot9 ^ 2 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] {a \ over b} = {c \ over d} \ quad \ Rightarrow \ quad {a + b \ over a – b} = {c + d \ over c – d} [/ math]

¿¡UPS!? Olvidé esta, la hermosa criatura que encontré recientemente

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {dx} {1 + (x + \ tan x) ^ 2} = \ pi [/ matemáticas]

Según mi opinión, mi favorita sería la representación de 52 factorial

¡El número de posibles arreglos de cartas que se pueden hacer desde un mazo de cartas es 52!

Podría repetirse como 52! = 52 * 51 * 50 ………. * 2 * 1

Parece simple pero su valor es enorme.

80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000

Intentemos representar este número es una mejor manera

Comience por elegir su lugar favorito en el ecuador. Recorrerás el mundo a lo largo del ecuador, pero darás un paso muy pausado de un paso cada mil millones de años. La circunferencia ecuatorial de la Tierra es de 40,075,017 metros. Asegúrate de empacar una baraja de cartas, para que puedas obtener unos pocos billones de manos de solitario entre los pasos. Después de completar su viaje alrededor del mundo, retire una gota de agua del Océano Pacífico. Ahora haga lo mismo otra vez: camine alrededor del mundo a mil millones de años por paso, retirando una gota de agua del Océano Pacífico cada vez que da la vuelta al globo. El Océano Pacífico contiene 707,6 millones de kilómetros cúbicos de agua. Continúa hasta que el océano esté vacío. Cuando sea así, tome una hoja de papel y colóquela plana en el suelo. Ahora, vuelva a llenar el océano y comience todo el proceso nuevamente, agregando una hoja de papel a la pila cada vez que haya vaciado el océano.

Haga esto hasta que la pila de papel llegue de la Tierra al Sol. Eche un vistazo al temporizador, verá que los tres dígitos más a la izquierda ni siquiera han cambiado. Aún te quedan 8.063e67 segundos más. 1 Unidad Astronómica, la distancia de la Tierra al Sol, se define como 149,597,870.691 kilómetros. Entonces, baje la pila de papeles y vuelva a hacerlo. Mil veces más. Desafortunadamente, eso todavía no lo hará. Todavía quedan más de 5.385e67 segundos. Estás casi un tercio del camino terminado.

Y pensabas que los domingos por la tarde eran aburridos

Para pasar el tiempo restante, comienza a barajar tu mazo de cartas. Cada mil millones de años, reparta una mano de póker de 5 cartas. Cada vez que consigas una escalera real, cómprate un boleto de lotería. Se produce una escalera de color real en una de cada 649,740 manos. Si ese boleto gana el premio mayor, arroje un grano de arena al Gran Cañón. Continúa y cuando hayas llenado el cañón con arena, retira una onza de roca del monte. Everest. Ahora vaciar el cañón y comenzar de nuevo. Cuando has nivelado el monte. Everest, mira el temporizador, todavía te quedan 5.364e67 segundos. monte El Everest pesa alrededor de 357 billones de libras. Apenas hizo mella. Si repitieras esto 255 veces, todavía estarías mirando 3.024e64 segundos. El temporizador finalmente llegaría a cero en algún momento durante su intento 256.

Eso es lo grande que es …

Mi favorito personal es el operador diferencial para funciones continuas:

[matemáticas] {} \ frac {df (x)} {dx} = \ lim_ {h \ a 0} {} \ frac {f (x + h) – f (x)} {h} [/ matemáticas]

¿La razón? Esta única línea encapsula una ideología que conduce a cálculos diferenciales e integrales, que además conducen a la obtención de soluciones a problemas de ingeniería complejos, desde la construcción de puentes, hasta el diseño de la superficie de la pluma que usa (suponiendo que todavía escriba 🙂

Mi ejemplo favorito

Esta extraña relación: suma de todos los números naturales, es decir, 1 + 2 + 3 + 4 … =?

muchos dirían infinito. tiene sentido pero en el mundo de los hiperrealistas:

1+ 2+ 3+ 4… = -1/12

Este resultado es absolutamente asombroso. Es lúcido de entender, explica una de las sumas más extrañas que uno haya encontrado y en realidad se utiliza en la teoría cuántica y la teoría de cuerdas, etc.

Nota: para las personas que se preguntan la prueba de esto se puede encontrar aquí:

Números cíclicos

Un número cíclico es un entero de [math] n-1 [/ math] dígito que, cuando se multiplica por [math] 1; 2; \ dots; (n-1) [/ math], produce los mismos dígitos en un orden diferente . Los números cíclicos son generados por los primos completos de representación, es decir, [math] 7; 17; 19; 23; \ dots [/ math]
[matemáticas] \ frac {1} {7} = 0. \ overline {142 857} [/ matemáticas]
[matemáticas] 142 857 \ veces 2 = 285 714 [/ matemáticas]
[matemáticas] 142 857 \ veces 3 = 428 571 [/ matemáticas]
[matemáticas] 142 857 \ veces 4 = 571 428 [/ matemáticas]
[matemáticas] 142 857 \ veces 5 = 714 285 [/ matemáticas]
[matemáticas] 142 857 \ veces 6 = 857 142 [/ matemáticas]

¡Los dígitos se repetirán todo el tiempo!

(Por supuesto, mi ejemplo es de base 10)

No estoy seguro de lo que define ‘Belleza matemática’, pero en mi opinión, las pruebas y los teoremas más elegantes son los más simples, que cualquiera puede entender.

Una de las muchas es la prueba para demostrar que: El área de un círculo = [matemáticas] \ pi * r ^ 2 [/ matemáticas]

¡Esta prueba también está estrechamente relacionada con el cálculo! Mira la imagen de abajo:

Así es como probamos esto usando la integración. Imaginamos que el círculo está formado por ‘anillos’ infinitamente pequeños. Pero, ¿qué obtenemos si desenrollamos estos anillos?

Tenemos un triangulo. Entonces podemos usar la fórmula para el área de un triángulo:

[matemáticas] \ frac {1} {2} * base * altura [/ matemáticas]

La base es la distancia entre el anillo más externo y el anillo más interno (es decir, el radio), y la altura es la circunferencia. Al usar esto, obtenemos:

[matemáticas] \ frac {1} {2} * r * 2 * \ pi * r [/ matemáticas]

Al simplificar, obtenemos [math] \ pi * r ^ 2 [/ math], que es el área del círculo.

Esta prueba se puede ver mejor en esta imagen de Una introducción suave al cálculo de aprendizaje:

¿Cuan genial es eso?

La mayoría de los matemáticos dirían la ecuación de Euler. No soy matemático, pero mi favorito tiene que ser la secuencia de Fibonacci. Su patrón se puede identificar en varias partes de la naturaleza, y eso es simplemente hermoso en mi opinión.

Ver fractales.

Aquí hay un buen enlace. http://www.mnn.com/earth-matters …

Además, hay más arte matemático disponible en http://www.TOKNOWMO.com

Graficar algunos conjuntos de números complejos que son fractales como el conjunto de Mandelbrot:

El conjunto de Julia

Y cómo aparecen en la naturaleza:

Hubo muchos hermosos ejemplos ya dados.

Agregaré uno: los poliedros regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

Estos son simplemente objetos hermosos en sí mismos debido a sus simetrías, pero el hecho de que solo tengamos cinco de ellos también es hermoso.

La fórmula de Euler es casi demasiado hermosa para ser verdad.