Antes de abordar la pregunta, quiero registrar mi aversión intensa por el término “cuasicategoría”. Parece que estamos hablando de algo que es casi una categoría, pero que es deficiente de alguna manera. La realidad es precisamente lo contrario: en situaciones en las que queremos usar cuasicategorías, ¡es porque las categorías son deficientes!
De todas formas. En una categoría, solo tienes objetos y morfismos. Sin embargo, a menudo no solo quieres hablar sobre morfismos, sino que también quieres “2-morfismos” o “morfismos entre morfismos”. Tres ejemplos fundamentales:
- En la teoría de categorías en sí, los objetos de la categoría de categorías son categorías y los morfismos son functores, pero también tenemos transformaciones naturales entre los functores. Estos explican la diferencia entre un isomorfismo y una equivalencia de categorías.
- En la topología algebraica, los objetos de la categoría de espacios son, digamos, espacios topológicos y los morfismos son mapas continuos, pero también tenemos homotopías entre mapas continuos. Estos explican la diferencia entre un homeomorfismo y una homotopía equivalencia de espacios.
- En álgebra homológica, los objetos de la categoría de complejos de cadena son complejos de cadena y los morfismos son mapas de cadena, pero también tenemos homotopías de cadena entre mapas de cadena. Estos explican la diferencia entre un isomorfismo y una equivalencia de homotopía de cadena de complejos de cadena.
(No trate de entender qué es una cuasicategoría hasta que esté satisfecho con estos tres ejemplos. Supongo que al menos tiene suficientes antecedentes como para estar satisfecho con estos tres ejemplos, o de lo contrario no tiene sentido tratando de entender las cuasicategorías porque no entenderá los problemas que las cuasicategorías fueron inventadas para resolver).
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Esto conduce naturalmente a la noción de una categoría 2 ( categoría 2 en nLab). En términos generales, una categoría 2 es una categoría enriquecida en categorías (categoría enriquecida en nLab); es decir, para cualesquiera dos objetos [matemática] x, y [/ matemática] no tiene un conjunto sino una categoría de homomorfismos [matemática] \ text {Hom} (a, b) [/ matemática]. (Pero esto solo le da lo que se llama una estricta categoría 2, y muchos ejemplos naturales no son estrictos; el problema es que la composición en general no es estrictamente asociativa).
En la teoría de 2 categorías, puedes dibujar imágenes más bonitas que en la teoría de 1 categoría. Aquí hay una foto de un 2-morfismo. 
Si amas la topología algebraica tanto como a mí, querrás pensar en los objetos [matemática] A, B [/ matemática] como puntos en algún espacio, los 1-morfismos [matemática] f, g [/ matemática] como caminos entre esos puntos, y el 2-morfismo [math] \ alpha [/ math] como una homotopía entre esos caminos. De hecho, esto motiva la definición de una categoría 2 muy importante, es decir, el grupo fundamental de 2 grupos [matemáticas] \ Pi _ {\ le 2} (X) [/ matemáticas] de un espacio [matemáticas] X [/ matemáticas]. Esta es una categoría 2 cuyo
- los objetos son puntos en [matemáticas] X [/ matemáticas],
- 1-morfismos son caminos entre puntos en [matemáticas] X [/ matemáticas], y
- 2-morfismos son clases de homotopía de homotopías entre caminos en [math] X [/ math].
En términos generales, un grupo de 2 grupos es una categoría 2 donde los morfismos 1 y 2 son todos invertibles. El grupo fundamental de 2 grupos de un espacio [matemática] X [/ matemática] codifica todo lo que posiblemente quieras saber sobre [matemática] \ pi_0 (X), \ pi_1 (X, x) [/ matemática] y [matemática] \ pi_2 (X, x) [/ math] para todas las opciones posibles de punto base [math] x [/ math]; en particular, puede recuperar estas tres cosas, pero también puede recuperar, por ejemplo, la acción natural de [math] \ pi_1 (X, x) [/ math] en [math] \ pi_2 (X, x) [/matemáticas].
De hecho, el 2-groupoid fundamental codifica con precisión el truncamiento 2 de [math] X [/ math], que es el espacio que obtenemos cuando agregamos células para eliminar toda la homotopía superior de [math] X [/ math] de [matemáticas] \ pi_3 (X) [/ matemáticas] arriba. Los truncamientos de [math] X [/ math] conforman su sistema Postnikov, y una técnica importante en la teoría de la homotopía es comprender un espacio por inducción en sus truncamientos / torre Postnikov.
Puedes seguir jugando este juego para valores más altos de 2: a veces quieres no solo 2-morfismos sino 3-morfismos, o 4-morfismos, o … esto lleva a la noción de una categoría n ( categoría n en nLab) y eventualmente a la noción de una [math] \ infty [/ math] -category (infinity-category en nLab). El impulso para este nivel de generalidad fue, creo, pionero por Grothendieck, que quería generalizar lo que dije sobre el grupo fundamental de 2 grupos arriba a valores más altos de 2. Si [matemáticas] X [/ matemáticas] es un espacio, entonces para cualquier n, hasta e incluyendo [math] n = \ infty [/ math], debe haber una categoría n llamada n-groupoid fundamental [math] \ Pi _ {\ le n} (X) [/ math] cuyo
- los objetos son puntos en [matemáticas] X [/ matemáticas],
- los morfismos son caminos entre puntos en [matemáticas] X [/ matemáticas],
- 2-morfismos son homotopías entre caminos en [matemáticas] X [/ matemáticas]
- 3-morfismos son homotopías entre homotopías en [matemáticas] X [/ matemáticas]
- etc.
y además el n-groupoid fundamental debería codificar con precisión el n-truncamiento de [math] X [/ math], que es el espacio que obtenemos cuando agregamos células para matar a toda la homotopía superior de [math] X [/ math] desde [matemáticas] \ pi_ {n + 1} (X) [/ matemáticas] hacia arriba. En particular, debe codificar los grupos de homotopía [matemática] \ pi_0 (X), \ pi_1 (X, x),… \ pi_n (X, x) [/ matemática] y todas las operaciones en ellos, como los productos Whitehead. Cuando [math] n = \ infty [/ math] el [math] \ infty [/ math] -groupoid fundamental debe codificar con precisión el tipo de homotopía débil de [math] X [/ math] (equivalencia débil (teoría de la homotopía)).
De hecho, [math] \ infty [/ math] -groupoids debería ser lo mismo que los tipos de homotopía débil, con el inverso dado por una versión adecuada de realización geométrica (realización geométrica en nLab). Esta es la hipótesis de la homotopía de Grothendieck (hipótesis de la homotopía en nLab). Una forma de pensar en esto es como la perspectiva de que la teoría de la homotopía es, en cierto sentido, solo una versión muy, muy mejorada de la teoría de grupos.
Eso está muy bien, excepto que resulta bastante difícil escribir una definición utilizable de n-categoría. El problema de rigurosidad que mencioné brevemente anteriormente empeora mucho para valores más altos de n; en particular, al hablar repetidamente sobre el enriquecimiento, puede escribir una definición de un n-groupoid estricto, y estos no pueden capturar n-truncamientos de espacios ya cuando [math] n = 3 [/ math]. Y definir categorías n débiles requiere hablar sobre todo tipo de condiciones de coherencia (como las de una categoría monoidal, pero empeorando cada vez más a medida que n aumenta) de las que es un verdadero dolor tener en cuenta. Cuando [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas], por ejemplo, Trimble escribió una definición completamente explícita de una categoría débil de 4 (tetracategorías) que ocupa 51 páginas.
Entonces necesitamos ser más inteligentes. Una idea es renunciar a tener una noción general de [math] \ infty [/ math] -category y conformarse con tener una noción de [math] \ infty [/ math]-category donde todos los k-morfismos, para [math] k \ ge 2 [/ math], son invertibles, o una [math] (\ infty, 1) [/ math] -categoría para abreviar. La razón es que, en términos generales, estas son categorías enriquecidas en [math] \ infty [/ math] -groupoids, y usando la hipótesis de la homotopía podemos engañar y reemplazar [math] \ infty [/ math] -groupoids con espacios. En particular, cualquier categoría enriquecida sobre espacios topológicos es una presentación de una categoría [math] (\ infty, 1) [/ math]. Pero esta definición resulta técnicamente inconveniente por razones con las que no estoy familiarizado.
Las cuasicategorías (cuasi-categoría) son otra forma de definir [math] (\ infty, 1) [/ math] -categories usando conjuntos Simpliciales. La idea es que, sean cuales sean [math] (\ infty, 1) [/ math] -categories, deben incluir 1) categorías y 2) [math] \ infty [/ math] -groupoids, o espacios equivalentes, como especiales casos. Y una cosa que las categorías y los espacios tienen en común es que pueden describirse usando conjuntos simpliciales: para las categorías, este es el Nervio (teoría de la categoría), y para los espacios, este es el conjunto simplicial singular (conjunto Simplicial). Por lo tanto, es razonable especular que [math] (\ infty, 1) [/ math] -categories también tienen nervios, y las cuasicategories describen cuáles deberían ser sus nervios.
Entonces, ¿qué puede hacer con [math] (\ infty, 1) [/ math] -categories una vez que tenga un modelo de ellos, como cuasicategories? Una motivación básica es que desea poder transportar ideas y construcciones de la teoría de categorías ordinarias a entornos como la topología algebraica y el álgebra homológica. Cuando haces esto, esas ideas se derivan (en el sentido de, pero más general que, Functor derivado). En particular, al transportar la idea de colimits y límites, se obtienen los llamados colimits de homotopía y límites de homotopía; Estas son construcciones fundamentales en la topología algebraica y el álgebra homológica, y para entenderlas como cosas definidas por propiedades universales como en el caso de los colimits y los límites, es realmente necesario hablar al menos heurísticamente sobre [math] (\ infty, 1) [/ math ] -categorías.
De manera un poco más concreta, la motivación de Lurie para usar cuasicategorías en Álgebra Superior es proporcionar un entorno para comprender lo que se llama espectro de anillo ( espectro de anillo). De la misma manera que un Espectro (topología) representa una teoría de Cohomología, un espectro de anillo representa una teoría de cohomología con productos de copa. Como explica Lurie en la introducción al Álgebra Superior , es tentador tratar de describir tales teorías de cohomología en términos de anillos topológicos, pero este enfoque es inadecuado: en particular, no puede capturar el ejemplo extremadamente importante de la teoría K topológica.
El problema es que los grupos abelianos topológicos son demasiado rígidos: las condiciones de conmutatividad que impone esta definición son demasiado estrictas. Los espectros pueden considerarse como una versión de grupos abelianos topológicos que son lo suficientemente débiles como para capturar teorías de cohomología como la teoría K; esta debilidad se refleja en el hecho de que los espectros naturalmente forman una categoría [matemática] (\ infty, 1) [/ matemática] en lugar de una categoría ordinaria, y Lurie hace un uso intensivo de esta estructura para decir muchas cosas interesantes sobre los espectros de anillo .
