Un conjunto [math] X [/ math] con elementos [math] n [/ math] tiene [math] n ^ 2 [/ math] pares de elementos ordenados, cada uno de los cuales puede estar relacionado o no. Es por eso que el número total de posibles relaciones es [matemáticas] 2 ^ {n ^ 2} [/ matemáticas].
[matemáticas] R = 2 ^ {n ^ 2} [/ matemáticas]
Si la relación debe ser reflexiva, lo que significa que cada objeto está en relación consigo mismo, necesitamos que todos los pares [matemática] (a, a) [/ matemática] pertenezcan a la relación (el conjunto de estos pares se llama la diagonal de [ matemáticas] X [/ matemáticas]). Hay [math] n [/ math] tales pares, lo que deja [math] n ^ 2-n [/ math] otros pares con los que podemos hacer lo que sea. Por lo tanto, dejando que [matemáticas] F [/ matemáticas] sea el número de relaciones reflexivas, tenemos
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[matemáticas] F = 2 ^ {n (n-1)} [/ matemáticas].
Este es también el número de relaciones irreflexivas, por la misma razón. Es solo que esta vez los pares en la diagonal se ven obligados a estar fuera de la relación.
Para una relación simétrica, cada par [math] (a, b) [/ math] debe estar en el mismo estado que [math] (b, a) [/ math]: o ambos están dentro o ambos fuera. Los pares en diagonal se pueden configurar libremente. Esto deja [math] n (n-1) / 2 [/ math] pares fuera de la diagonal para trabajar, más los pares [math] n [/ math] en la diagonal, por lo que el número total de relaciones simétricas es
[matemáticas] S = 2 ^ {n (n + 1) / 2} [/ matemáticas].
Para las relaciones antisimétricas, aún podemos hacer lo que queramos en la diagonal. Para cada par fuera de la diagonal [math] \ {(a, b), (b, a) \} [/ math] con [math] a \ neq b [/ math], tenemos exactamente 3 opciones, ya que podemos pon cualquiera de los pares en la relación, o ninguno de ellos, pero no ambos. Por lo tanto
[matemáticas] A = 3 ^ {n (n-1) / 2} 2 ^ n [/ matemáticas].
El número de relaciones de equivalencia se puede determinar utilizando un enfoque algo diferente. Sabemos que una relación de equivalencia divide el conjunto [matemáticas] X [/ matemáticas] en clases de equivalencia, por lo que contar las relaciones de equivalencia es lo mismo que contar el número de formas de dividir [matemáticas] X [/ matemáticas] en subconjuntos.
Los números que cuentan esto se conocen como números de Bell. Comienzan así:
[matemáticas] B_0 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] B_1 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] B_2 = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] B_3 = 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] B_4 = 15 [/ matemáticas]
[matemáticas] B_5 = 52 [/ matemáticas]
y en general
[matemáticas] \ displaystyle B_ {n + 1} = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} B_k [/ matemáticas]
También hay una función de generación muy ordenada para estos números:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty B_n \ frac {x ^ n} {n!} = e ^ {e ^ x-1} [/ math].
El número de relaciones transitivas en un conjunto finito es mucho más difícil de determinar. No se conoce una fórmula de forma cerrada, y no esperaría que exista una. Tampoco conozco una función de generación de forma cerrada.
La entrada OEIS enumera algunos detalles y referencias sobre esta secuencia de números.
