Deje que las denominaciones de las monedas sean [matemáticas] a_1 [/ matemáticas], [matemáticas] a_2 [/ matemáticas], [matemáticas] a_3 [/ matemáticas], [matemáticas] a_4 [/ matemáticas]. Podemos suponer que [math] 1 \ le a_1 <a_2 <a_3 <a_4 [/ math], y que cada [math] a_i [/ math] es un número entero. El conjunto de sumas que buscamos proviene de la colección de subconjuntos no vacíos de un conjunto [math] 4 [/ math]; hay [matemática] 2 ^ 4–1 = 15 [/ matemática] tales conjuntos. Por lo tanto, hay como máximo [matemáticas] 15 [/ matemáticas] sumas distintas .
Para obtener [matemáticas] 15 [/ matemáticas] sumas distintas, elija los números [matemáticas] 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 4 [/ matemáticas], [matemáticas] 8 [/ matemáticas ] Entonces, cada entero en el conjunto [math] \ {1,2,3, \ ldots, 15 \} [/ math] puede escribirse de forma única como una suma de distintos [math] a_i [/ math]. Esta es solo la expresión base [matemática] 2 [/ matemática] de estos números; la unicidad se deduce de la expresión, ya que hay como máximo [math] 15 [/ math] sumas distintas.
Hay infinitas otras muchas colecciones de [math] a_i [/ math] que producen [math] 15 [/ math] sumas distintas. Sin embargo, para obtener los primeros [matemáticos] 15 [/ matemáticos] enteros positivos, debe usar la combinación [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] 2 [/ matemática], [matemática] 4 [/ matemática], [ matemáticas] 8 [/ matemáticas]. No estoy proporcionando la prueba de ninguna de las afirmaciones aquí .
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En el otro extremo, ¿cuál es el número más pequeño de sumas distintas que puede generar un conjunto de cuatro [math] a_i [/ math]? Una simple comprobación mostrará que la colección [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] 2 [/ matemática], [matemática] 3 [/ matemática], [matemática] 4 [/ matemática] produce el conjunto [matemática] \ {1,2,3, \ ldots, 10 \} [/ math]. No podemos hacerlo peor con ninguna colección de [math] a_i [/ math] ‘s:
[matemáticas] a_1 <a_2 <a_3 <a_4 <a_4 + a_1 <a_4 + a_2 <a_4 + a_3 <a_4 + a_3 + a_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] <a_4 + a_3 + a_2 <a_4 + a_3 + a_2 + a_1 [/ matemáticas]
dar [matemáticas] 10 [/ matemáticas] sumas distintas .
Para concluir, el número más pequeño y más grande de sumas distintas son [matemáticas] 10 [/ matemáticas] y [matemáticas] 15 [/ matemáticas]. Se deja como ejercicio construir conjuntos [math] \ {a_1, a_2, a_3, a_4 \} [/ math] para que el conjunto de sumas tenga [math] 11 [/ math], [math] 12 [/ math ], [matemáticas] 13 [/ matemáticas] o [matemáticas] 14 [/ matemáticas] elementos distintos . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
