La razón por la que ZFC demuestra que PA es consistente es porque es demostrable en ZFC que existe un modelo (en el sentido de la Teoría del Modelo) de PA. Bueno, ese mismo modelo (los números naturales) tiene una teoría completa de segundo orden, que es solo aritmética de segundo orden, por lo que, en ese sentido, sí, ZFC prueba la consistencia de la aritmética de segundo orden.
No creo que su segunda viñeta esté bien planteada, pero en principio, sí, un sistema más débil a menudo puede probar cosas no triviales sobre uno más fuerte. Por ejemplo, es demostrable en ZFC que el sistema más fuerte “ZFC y existe un cardenal inaccesible” demuestra que existe un modelo de ZF donde la Elección falla y el Axioma de la Determinación se cumple. Sin embargo, esto se debe a que las nociones de “prueba” en ambos sistemas son las mismas; Son solo los axiomas los que difieren. En otros casos (como la aritmética de segundo orden, donde la relación de consecuencia semántica no es computable), este tipo de cosas pueden no funcionar de la misma manera.
A la tercera pregunta: no, los teoremas de incompletitud son notablemente amplios: con frecuencia se parafrasean como “cualquier sistema formal suficientemente expresivo no puede probar su propia consistencia”. Sin embargo, debo agregar que son teoremas de la lógica de primer orden , que es un sistema formal particular bastante robusto y bien definido.
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Para el cuarto: No. Una “extensión” de un sistema significa que todos los teoremas del sistema base siguen siendo teoremas del sistema extendido. La parte “conservadora” significa que cualquier enunciado del sistema base que sea un teorema del sistema extendido ya era un teorema del sistema base.
