El axioma de elección fue controvertido porque probó cosas que obviamente eran falsas, en la intuición de la mayoría de las personas, a saber, el teorema del buen orden y la existencia de conjuntos no medibles. Al analizar los argumentos, este axioma fue el único culpable que hizo posible la prueba de que las personas estaban dispuestas a aceptar rechazar. El verdadero culpable es algo diferente, es el axioma del conjunto de potencias, pero las personas de principios del siglo XX querían mantener la prueba de Cantor de la incontabilidad de los números reales como una verdadera declaración demostrable sobre los conjuntos, lo que requería un axioma de conjunto de potencias, por lo que solo podían rechazar la elección.
—- Qué opción prueba
Considere el círculo unitario bajo traducciones racionales, es decir, los números reales [0,1), donde puede tomar x a x + p / q donde p, q son enteros, y luego tomar la parte fraccionaria. Hay números que se pueden mapear entre ellos bajo estas traducciones, por ejemplo, 0 se mapea a cualquier número racional, y otros números son distintos, no se puede mapear sqrt 2 a la parte fraccional de sqrt 3 porque su diferencia es irracional.
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Ahora “elija” un elemento de cada clase de equivalencia y conviértalo en un conjunto S. El conjunto S tiene la propiedad de que si lo cambia por todos los números racionales (y proyecta de nuevo al intervalo tomando la parte racional), y toma una unión, terminas disjuntamente haciendo todo el intervalo nuevamente. Esta es la construcción de Vitali.
Pero esto significa que S no puede tener una noción de medida de Lebesgue. Si asigna a S una medida de Lebesgue de .00001, cada una de las traducciones de S tiene la misma medida, por lo que la unión que termina con infinito multiplicado por .00001 es la medida del intervalo, que es infinito. Tampoco puede dar a S Lebesgue la medida 0, porque entonces el intervalo tendría infinito contable multiplicado por 0 Medida de Lebesgue, y esto es 0, ya que la medida de Lebesgue es contablemente aditiva (la medida de una unión distable contable es la suma infinita de la medidas de las piezas). Entonces el conjunto S no es medible.
¿Por qué es esto una paradoja? ¡Porque es intuitivamente obvio (y ahora también se sabe que es consistentemente correcto decirlo) que cada conjunto tiene la medida de Lebesgue! Considere elegir un número real r al azar entre 0 y 1, por ejemplo, lanzando una moneda para determinar cada dígito binario sucesivo de r. Luego puede preguntar, una vez que se genera r, ¿está r en el conjunto S, o no? Si sigues haciendo esto, generando números aleatorios y preguntando si están en S o no, obtienes una secuencia infinita de respuestas sí-no, cada una probalísticamente independiente de la anterior. Luego se deduce que hay un límite único de la fracción de veces que el número real aleatorio aterrizó en S, el límite del número de veces que r está en S sobre el número total de lanzamientos, ya que el número de lanzamientos va al infinito. Y esto necesariamente tiene que converger, de acuerdo con las leyes de probabilidad, no puede oscilar (al menos, con cierta probabilidad no oscila). Así que puedes seguir adelante y definir la medida de S para que sea esta probabilidad.
¡Pero esto significa que todos los conjuntos son medibles! ¿Lo que da?
Lo que da es que la noción de elegir un número aleatorio debe ser inconsistente si acepta el axioma de elección. Simplemente no puede definir la noción limitante de elegir una secuencia infinita aleatoria como el límite de elegir secuencias finitas, aunque sepa que estas ciertamente convergen. Esa es la compensación. Si puede elegir un número al azar entre 0 y 1, entonces debe tener una probabilidad constante de aterrizar en cualquier conjunto dado. Por lo tanto, los teóricos de conjuntos rechazaron la noción de un número aleatorio y, en cambio, permitieron conjuntos no medibles eligiendo de esta otra manera, eligiendo un elemento de cada clase de equivalencia. Esto fue extremadamente irritante para muchos matemáticos. Lebesgue fue irritante, ya que estaba extremadamente molesto porque la gente renunció a la universalidad de la medida de Lebesgue, algo en lo que trabajó mucho para establecer en los primeros años del siglo XX.
Entonces los matemáticos admitieron conjuntos no medibles, y luego trabajaron duro para demostrar que todos los conjuntos “razonables” son medibles. Para hacer esto, definieron “conjuntos de Borel” y “álgebras de Sigma”, que eran conjuntos que construías mediante uniones contables e intersecciones de intervalos. El resultado fue que podría axiomatizar la probabilidad sobre los números reales, de tal manera que pudiera tener conjuntos no medibles, y al mismo tiempo hacer que la mayoría de las declaraciones intuitivas de probabilidad sean significativas sin tener que hablar de instancias de azar aleatorio infinitamente preciso picos. El truco consistía en demostrar que no abandonaste el mundo de los conjuntos medibles simplemente tomando intersecciones contables, uniones o cualquier operación normal.
Debo señalar que el conjunto no medible “construido” arriba usando el axioma de elección no puede escribirse de ninguna manera razonable; necesitaría especificar una lista incontable de opciones únicas, una de cada clase. Este no es un procedimiento en ningún sentido de la palabra, a menos que tenga una forma de producir una lista incontable. El método para producir listas incontables es ordenando conjuntos incontables, y esto era otra cosa que el axioma de elección le permitía hacer.
Pero luego estaba la revolución forzada.
– Forzar
La noción de álgebra sigma solo reparó la medida de Lebesgue para conjuntos que se producen a partir de intervalos mediante procedimientos de unión e intersección contables, no estaba claro si el método funcionó para dar la medida de Lebesgue cuando se hizo el axioma de reemplazo o separación, utilizando predicados bien definidos.
El desarrollo del forzamiento de Cohen solucionó esta brecha, al mostrar cómo se podía hacer que un universo teórico de conjuntos fuera consistente y tuviera la propiedad “todos los conjuntos son medibles de Lebesgue”. El método es muy sencillo de describir de la siguiente manera. Primero, debe hacer un modelo contable de la teoría de conjuntos ZF, esto se hace siguiendo el teorema de integridad de Godel o utilizando el teorema de Skolem. Luego, en este modelo contable, si no introduce elementos adicionales, tiene el axioma de elección que es verdadero, porque todos los elementos son “construibles” en el sentido de Godel: se producen mediante un proceso ordinal de definición a partir del conjunto vacío .
Ahora puedes unirte a este universo contable con números reales aleatorios. Estos números aún no están en el universo, porque el universo solo tiene muchos números. Además, puede decidir qué propiedades son verdaderas o falsas para estos números aleatorios, solo a partir de su secuencia de dígitos: una propiedad se convierte en verdadera si se prueba a partir de muchos dígitos, y una propiedad es falsa cuando la probabilidad de que sea verdadera es 0, que significa que estos nuevos números reales evitan todos los conjuntos de medidas cero del modelo anterior.
Al unir los reales aleatorios, obtienes una medida para todos los conjuntos del modelo anterior, porque solo puedes definir la medida de un conjunto en el modelo antiguo como la fracción del tiempo que los números reales aterrizan en el conjunto, como en el intuitivo construcción.
Pero ahora tiene nuevos números reales en el nuevo modelo, y puede hacer conjuntos a partir de estos, y necesita definir la medida de esos conjuntos adicionales. Puede hacer esto simplemente eligiendo más números aleatorios y definiendo la medida como la fracción del tiempo en que los nuevos números aterrizan en los conjuntos anteriores, pero necesita saber que hay un lugar constante para detenerse.
En 1972, Solovay descubrió cómo proyectar los conjuntos en estos nuevos modelos para que todos los conjuntos permanezcan medibles y se mantengan los axiomas de ZF. Esto fue agradable, porque demostró que ZF es consistente con el axioma “todos los conjuntos son medibles”, a pesar de que tiene un axioma de potencia y un axioma de reemplazo. Por lo tanto, realmente es la única opción la que conduce a conjuntos no medibles.
Esto significa que no importa cómo defina conjuntos en la teoría de conjuntos, incluso utilizando separación o reemplazo, nunca producirá un conjunto no medible. Se formaliza la intuición de que los conjuntos no medibles son imposibles.
– Nuevas paradojas
Algunas nuevas paradojas hicieron que la noción de elección y conjunto no medible se volviera más marcada. Alguien le dio el siguiente problema:
Un número infinito de personas está de pie en una fila, y les pones un sombrero en la cabeza, ya sea negro o blanco. Cada persona puede ver todos los demás colores en la cabeza de los demás, y tiene que adivinar el color en su propia cabeza.
La gente “gana” si solo finitamente muchas personas adivinan mal. ¿Puede ganar la gente?
Es intuitivamente obvio que la gente no puede ganar, solo pon un color aleatorio en cada una de sus cabezas. Pero el axioma de elección no funciona con probabilidad intuitiva, por lo que al usar la opción, puede permitir que la gente gane.
Lo que haces es declarar clases de equivalencia de las opciones de sombreros, de modo que dos secuencias de sombreros son equivalentes si difieren solo en finitos lugares. Luego, “elige” un elemento de cada clase de equivalencia. Luego le das esta opción a todas las personas con anticipación, y miran todos los demás sombreros y encuentran el único
representante de esta clase de equivalencia que coincide con todos los demás sombreros. Luego responden de acuerdo con lo que este representante dice que está en su propia cabeza. Esto permite que la gente gane.
La aleatoriedad está en conflicto con la elección como siempre.
El rechazo de la elección a favor de “todos los conjuntos son medibles en Lebesgue” es una conclusión inevitable en mi opinión: el axioma de mensurabilidad es útil para definir espacios de probabilidad en sistemas infinitos, y facilita la definición rigurosa integral de la ruta de Feynman (aunque no lo hace). No resuelva el problema principal, se deshace de un gran dolor de cabeza de construir álgebras sigma en las distribuciones).
El axioma “todos los conjuntos son medibles en Lebesgue” también está implícito en otros esquemas interesantes como los lógicos, como el axioma de determinación. Entonces la gente se está sintiendo más cómoda con este universo. Para permitir que las personas hagan esto, sin cambiar su modelo de teoría de conjuntos, las personas definen “topoi”, que son solo el reemplazo de un matemático moderno por un modelo de teoría de conjuntos que no requiere aprender ninguna lógica moderna, donde puede tomar lo que sea propiedad del modelo de teoría de conjuntos que desea y hacerla realidad para un “topos” (es como un universo) y luego la gente debe tomarlo en serio, ya que su construcción se encuentra dentro de las matemáticas habituales, no cambia el modelo.
Pero creo que todo este coño es peligroso, ¡solo deberías decir “Nos hicimos el tonto”! Fue un error, deberíamos haber rechazado el conjunto de poder / elección a favor de alguna otra convención que funcione bien con probabilidad.
– Propaganda pro-elección
Las personas a las que les gusta la elección suelen mostrar algunos teoremas que dicen que son “absolutamente necesarios para las matemáticas”, que son equivalentes a la elección:
* Teorema de Tychonoff: el producto de conjuntos compactos es compacto.
La solución es convertirlo en un producto contable, o un producto de tamaño menor que el continuo. Entonces puedes elegir y mantener la probabilidad.
* Ideales máximos: todas las ideas están contenidas en un ideal máximo
de nuevo, haces que tu anillo tenga ideales que son contables generados o generados por un ordinal de tamaño menor que el continuo, y se mantiene incluso si el continuo no permite la elección.
* El análisis funcional teoriza el wazoo
Todo el negocio de elección de análisis funcional permanece verdadero (con la misma prueba) si elimina la elección en el continuo y mantiene todos los espacios con una base contable (u ordinal menor que el continuo).
La razón por la que es fácil des-elegir los teoremas es la misma razón por la cual la elección fue aceptada en primer lugar: es porque la elección es verdadera en el modelo de teoría de conjuntos de Godel. Entonces, si tiene un teorema que usa la opción, simplemente lo interpreta como verdadero en el universo construible, y luego simplemente piensa que el universo constructivo es una parte contable o pequeña del universo real, mucho más pequeño que los números reales. Eso es. Relativiza a L, no causa problemas y hace que los teoremas sean intuitivos. La razón por la que L se confunde acerca de la probabilidad es que si elige un número real al azar, tiene cero posibilidades de estar en L, y L delirantemente piensa que tiene todos los números reales, por lo que produce conjuntos paradójicos.
No me gusta hablar en esos términos, porque para un positivista, la cuestión de los números reales “reales” no tiene sentido. Solo debe atenerse a las declaraciones sobre computadoras y cálculos, ya que a estos no les importan cosas como la elección. Pero precisamente por esto, uno debería tener la libertad de trabajar en cualquier axiomatización que desee, y creo que todos deberían tener ganas de trabajar en una axiomatización donde los argumentos de probabilidad funcionen sin paradojas.
– Hoy
El axioma de elección sigue siendo controvertido en cierto sentido, excepto que la mayoría de los matemáticos que trabajan lo utilizan sin dudas. Entonces, ¿por qué es controvertido? Porque cuando se usa, los matemáticos saben en secreto que se supone que se debe aplicar a colecciones contables, y simplemente se permiten extenderlo a una colección incontable de forma coherente, ya que Godel demostró que esto no puede hacer daño en ningún sentido real. Así que pretenden que es cierto para innumerables colecciones, saben que no causará contradicciones y viven con cualquier propiedad subóptima que el universo termine teniendo. Tampoco quieren lidiar con eso, así que si comienzas a parlotear sobre eso, te callarán. No está mal, es la forma más rápida de archivar las cosas filosóficas y llegar a las matemáticas reales. Pero creo que está causando problemas reales hoy.
Creo que la mayoría de los matemáticos modernos entienden que la opción + conjunto de poderes no tiene sentido, solo conocen suficientes resultados de consistencia para mover las paradojas intuitivas a un lado. Entonces pueden creer que es “verdadero” (que significa verdadero como una declaración sobre su modelo de teoría de conjuntos) y “falso” (que significa falso como una declaración absoluta sobre la colección de todos los números reales) al mismo tiempo. Esto no es una verdadera paradoja, porque verdadero y falso para este tipo de cosas solo es relativo a un sistema axiomático formal dado, y uno puede estar igualmente cómodo en diferentes sistemas. Entonces, por ejemplo, no tengo ningún problema con el axioma de elección como una declaración sobre el universo construible de Godel, y solo interpreto todos los teoremas que se prueban con la elección como declaraciones sobre el universo de Godel, y no como declaraciones sobre el universo “real” , con todos sus números reales.
Hay muchos matemáticos contemporáneos que simplemente rechazan el axioma de elección y no tienen problemas para hacerlo. No es difícil, porque puedes imaginar todos los teoremas de elección como condicionales. Bill Thurston es un ejemplo muy notable. Los lógicos en general se sienten muy cómodos en universos sin elección hoy en día, y la contradicción entre elección y experiencia se ha convertido en una clara paradoja desde la década de 1960.
