¿Hay un espacio matemático en el que converjan todas las secuencias?

EDITAR: Mi respuesta original fue desafortunadamente bastante incorrecta, de lo que solo me di cuenta después de ver la respuesta del usuario de Quora. Después de una cuidadosa deliberación, decidí reescribir completamente el original.

Sí, hay ejemplos como este. Una posibilidad es tomar cualquier conjunto y darle la topología trivial, donde los únicos conjuntos abiertos son solo el conjunto vacío y el conjunto completo. Si su conjunto consta de un solo punto, este es el ejemplo dado por el usuario de Quora. De lo contrario, este es un espacio que se comporta muy mal: no solo no es metrizable y no es Hausdorff, sino que de hecho cada secuencia converge a cada elemento del conjunto.

En términos más generales, podemos tomar cualquier espacio topológico y pedir solo que haya al menos un punto de manera que el único conjunto abierto en el que esté contenido sea todo el espacio (este es el ejemplo del Usuario de Quora). En ese caso, cada secuencia convergerá a los puntos seleccionados. Tenga en cuenta que esta topología no es Hausdorff si el conjunto contiene más de un punto. De hecho, no hay forma de “albergar” los puntos seleccionados del resto del espacio topológico.

De hecho, no hay ejemplos de Hausdorff de un espacio donde converjan todas las secuencias, aparte del conjunto de singleton. De hecho, tome cualquiera de los dos elementos [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] en su espacio topológico, y considere la secuencia [matemática] x, y, x, y, x, \ ldots [/ matemática ]

Esta secuencia tiene dos subsecuencias convergentes: [matemáticas] x, x, x, x, x, \ ldots [/ math] y [math] y, y, y, y, y, \ ldots [/ math]. Para una secuencia convergente, cualquier límite de una subsecuencia es un límite de toda la secuencia, por lo que concluimos que [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son ​​límites de esta secuencia.

Sin embargo, en cualquier espacio de Hausdorff, una secuencia puede tener como máximo un límite, por lo tanto, [math] x = y [/ math].

Es una pregunta interesante si hay otros ejemplos que no sean de Hausdorff que no sean los dados por Yotam. Si fortalece la condición de todas las secuencias que convergen a todas las redes que convergen, entonces ciertamente no hay contraejemplos. De lo contrario, no estoy seguro. Tendré que seguir pensando en eso.

Cualquier espacio topológico [matemático] X [/ matemático] que tenga un punto [matemático] p [/ matemático] no contenido en ningún conjunto abierto excepto [matemático] X [/ matemático], es un ejemplo, ya que [matemático] p [/ matemáticas] es un límite para todas las secuencias (solo tiene un vecindario que contiene todo).

¿Quizás quieres restringirte un poco? ¿Quizás a los espacios de Hausdorff? ..

Editar: Ver la respuesta de Yotam Dvir en su lugar.

Dada alguna forma de métrica razonable y el concepto de “subconjunto abierto” definido en el espacio en cuestión, puedo imaginar al menos uno de esos espacios: [matemática] S = {a} [/ matemática], un espacio que consiste en un solo punto .

¿Hay otros? Suponga que el espacio [matemática] \ tilde {S} [/ matemática] contiene al menos dos puntos, [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática]. Luego, me resulta difícil encontrar una definición adecuada de ‘subconjunto abierto’ para este conjunto de puntos múltiples, junto con una métrica, lo que causaría la secuencia [matemáticas] \ {a, b, a, b, a, b ,… \} [/ Math] para converger. No diré que es imposible; Solo digo que no sé cómo hacerlo.

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