La cohomología es una de esas cosas que parece realmente complicada la primera vez que la ves, y poco a poco comienza a tener más sentido una vez que tienes más experiencia. Las otras respuestas han hecho un buen trabajo respondiendo esta pregunta desde una perspectiva más matemática, por lo que me gustaría intentar obtener una explicación más intuitiva (y como resultado, gran parte de lo que digo solo será moralmente cierto).
Un problema sorprendentemente difícil en la topología algebraica es saber cuándo dos cosas son “diferentes”. Nos gusta imaginar que todo está hecho de goma infinitamente elástica, por lo tanto, por ejemplo, consideramos que un cuadrado y un círculo son lo mismo. ¿Por qué? Si tiene una banda de goma circular, es fácil convertirla en un cuadrado. Dado que asumimos que todo es de goma, estas formas son las mismas (la palabra correcta es “homeomórfica”, o tal vez “equivalente de homotopía” dependiendo de cómo interprete la metáfora y cuán extraño sea su goma). Esto plantea preguntas: es una esfera lo mismo que una rosquilla? ¿Hay dos formas realmente diferentes? ¿Cómo podemos saberlo?
¡Una forma de hacerlo es contar agujeros! Resulta que no importa lo que hagamos con nuestra forma de goma, se preservará la cantidad de agujeros. Esto nos da una buena manera de ver nuestro problema:
- ¿Por qué la línea crítica a la que se hace referencia en la función zeta se define expresando la parte real en [math] \ frac {1} {2} [/ math] versus que en realidad es algún grado [math]>. 49 \ a <.5 [/ matemáticas]?
- ¿Cómo le va bien en concursos de matemáticas como Putnam?
- ¿Qué es 9 +10?
- ¿Cómo es ser un estudiante graduado en matemáticas en la Universidad de Michigan?
- Cómo prepararse para las clases de matemáticas de pregrado
Este toro tiene dos “agujeros”: uno que puedes ver fácilmente y otro que solo puedes ver si sabes que el toro está hueco.
Esta esfera, mientras tanto, solo tiene un agujero: (suponiendo, de nuevo, que es hueca)
¡Entonces no son lo mismo, incluso con nuestra extraña suposición de que todo es de goma!
El problema es que la mayoría de las formas no son tan simples. Tomemos una esfera en 50 dimensiones y peguemos cada punto con el punto exactamente enfrente de él. ¿Cuántos agujeros tiene esta forma extraña? ¿Y eso que significa?
Una forma de lidiar con esto se llama homología (singular) . Homología asigna un grupo abeliano [matemática] H_n (X) [/ matemática] a su espacio [matemática] X [/ matemática] para cada entero no negativo n. Hablando en términos generales, obtenemos este grupo al observar todas las formas de poner una esfera n-dimensional en su espacio sin poder llenar la esfera (lo que ocurre, como es de esperar, en los agujeros) Esto en realidad nos da aún más información de lo que queríamos, porque también obtenemos pequeños fragmentos sutiles de información de la estructura del grupo sobre qué tipos de agujeros tenemos, ¡e incluso sobre qué efectos tienen las funciones entre espacios en estos agujeros!
(El resultado aquí es que hemos tomado información complicada sobre formas y la hemos simplificado en estructuras matemáticas más simples llamadas grupos . Luego podemos reformular nuestras preguntas geométricas difíciles en preguntas más fáciles sobre álgebra y resolverlas de esa manera).
Lo decepcionante de la homología es que todos los valores de n aquí están completamente separados. Si he detectado agujeros en las dimensiones 3 y 5, no puedo obtener ninguna información sobre cómo podrían estar relacionados o interactuar entre sí. La homología no puede “ver” ninguna relación entre ellos. Como resultado, he perdido información valiosa que podría usar para distinguir espacios, o para encontrar propiedades de mi espacio, o cualquier otra cosa que quisiera hacer.
¡La ventaja de la cohomología es que soluciona este problema! La desventaja es que oscurece la conexión original con los agujeros: en lugar de simplemente poner esferas en nuestro espacio, estamos atrapados estudiando funciones de estas esferas incrustadas en un grupo preestablecido (esto es lo que los matemáticos quieren decir cuando hablan de “tomar el algebraico lineal doble”). Pero la recompensa es enorme: obtenemos una estructura de anillo, lo que significa que tenemos una forma de “multiplicar” las clases que representan dos agujeros y nos permite capturar más información sobre cómo se ubican los agujeros uno respecto al otro.
Todo esto sería una gran pérdida de tiempo si todo lo que obtuviéramos fuera una definición genial de agujeros. Lo que realmente hace útil la cohomología es que es (al menos algo) computable. Si hago preguntas como:
- Si “pego” dos espacios, ¿cuándo se crean nuevos agujeros?
- Si colapso por completo una parte de un espacio, ¿cómo puedo ver qué agujeros han desaparecido y qué agujeros nuevos existen?
- ¿Cuántos agujeros tiene este complejo (finitamente grande)?
¡entonces hay maneras de responder estas preguntas (bajo algunas condiciones)! Esto significa que tenemos una herramienta útil para atacar preguntas sobre espacios en grandes dimensiones, donde ya no podemos dibujar imágenes, siempre que tengamos una descripción bastante agradable de los espacios en consideración. Como resultado, la cohomología se convirtió en una de las formas más importantes de almacenar y estudiar información sobre espacios topológicos complicados, y las personas encontraron todo tipo de formas geniales para calcularla y comprenderla.
Finalmente, la gente comenzó a darse cuenta de que hay otras formas de estudiar espacios que siguen (más o menos) las mismas reglas. ¡Esto significa que podríamos usar toda la práctica que obtuvimos al estudiar la cohomología normal para responder todo tipo de preguntas! Llamamos a estas teorías de cohomología generalizadas o extraordinarias . Describirlos en detalle requiere un poco de esfuerzo, pero el resultado es que podemos responder preguntas como “¿qué paquetes de vectores puedo poner en este espacio?” Y “¿Qué tipo de espacios pueden existir, hasta el coordismo” porque misteriosamente siguen las mismas reglas que ¡Nuestro objetivo original de contar hoyos!
(También hay otros tipos de cohomología como “cohomología grupal” que no intentan responder preguntas sobre espacios. La tecnología de conteo de agujeros que creamos se volvió tan sofisticada y genial que la gente comenzó a definir análogos de lo que hemos llamados “agujeros” en otros contextos para aprovechar el poder de la cohomología para responder otras preguntas).
