Es la cardinalidad del continuo.
Prueba de croquis: puede probar esto construyendo el conjunto de conjuntos Borel por inducción transfinita, comenzando por los intervalos [matemática] [a, b] [/ matemática] junto con el conjunto vacío y la línea real. En cada paso de la inducción, agregue los complementos de los subconjuntos ya construidos y también todas las uniones contables de esos subconjuntos. En los ordinales de límite, simplemente tome la unión de todo lo que tenía hasta ahora. Una vez que llegue al primer ordinal incontable [math] \ omega_1 [/ math], habrá generado todos los conjuntos de Borel (prueba: demuestre que la familia construida en esta etapa es un [math] \ sigma [/ math] -algebra) .
Ahora es sencillo demostrar que en cada paso de este proceso, la cardinalidad de los conjuntos ya construidos es solo [matemática] c [/ matemática] y, por lo tanto, lo mismo es cierto para la unión de todos ellos.
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Curiosamente, la familia de conjuntos medibles de Lebesgue es mucho más grande: tiene cardinalidad [matemática] 2 ^ c [/ matemática], tan grande como el conjunto de todos los subconjuntos de [matemática] \ mathbb {R} [/ matemática]. Esto es aún más fácil de probar: solo necesita saber que existe un conjunto de medida 0 y cardinalidad [matemática] c [/ matemática]. El conjunto Cantor se ajusta a la factura. Ahora, cualquier subconjunto de este conjunto es medible por Lebesgue, QED.
