Cómo demostrar que un conjunto es infinitamente contable

Use la definición de contable. ¿Puedes contar el conjunto, es decir, hay una correspondencia entre los números naturales y el conjunto dado? Para verificar esto, intente encontrar un mapa uno a uno del conjunto dado a números naturales / un subconjunto de números naturales / cualquier conjunto que ya haya demostrado ser contable.

Por ejemplo, si le preocupan los enteros, el mapa podría ser

[matemáticas] f (0) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (-1) = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (1) = 3 [/ matemáticas]

Y así. .

Puedes notar que el término general es-

[matemáticas] f (-k) = 2k [/ matemáticas]

[matemáticas] f (k) = 2k + 1 [/ matemáticas]

Encuentre una receta para asignar todos y cada uno de sus elementos a los números naturales de tal manera que todos y cada uno de los números naturales estén asignados exactamente por un elemento. Esto se llama un mapa biyectivo, y demuestra que el conjunto tiene la misma cardinalidad que los naturales; es decir, es infinitamente contable.

Construir una biyección explícita es excelente si puede hacerlo, pero a veces puede ser un desafío. El teorema de Schröder-Bernstein es una herramienta muy poderosa que le permite concluir que dos conjuntos tienen el mismo tamaño sin la necesidad de construir una biyección explícita, y definitivamente vale la pena considerar los problemas donde podría aplicarse.

Algunos conjuntos no lo son.

La forma más simple es demostrar una correspondencia 1–1 con los enteros.

A veces, sin embargo, eso es muy difícil o incluso imposible.

Aquí hay un bosquejo de cómo demostrar que el número de números racionales es contable.

Paso 1:

Considere todos los pares de enteros (a, b) e idee un orden para ellos, algo primero. Por ejemplo, podríamos comenzar en (0,0) y proceder en círculos (una espiral):

(0,0), (1,0), (1,1), (0,1), (- 1, -1), (- 1,0), (- 1, -1), (- 1 , 0), (1, -1), (2,0), …

Esto obtiene cada punto entero en el avión.

Cada punto z = (x, y) representa el número r = x / y siempre que [math] y \ ne 0. [/ Math]

Hay dos problemas:

[a] muchos puntos tienen y = 0

[b] muchos números están representados por más de 1 punto en el avión.

Sin embargo, considere Z el subconjunto de estos puntos que representan números racionales únicos. Como es un subconjunto de un conjunto contable, no puede ser de mayor cardinalidad, y dado que contiene, en particular, representantes de los enteros, no es finito.

Muestre que los miembros del conjunto se pueden emparejar 1 por 1 con otro conjunto infinito contable ya conocido, como el conjunto de todos los enteros positivos.

Hubiera dicho ‘el conjunto de todos los enteros’, pero eso es mucho más complicado y haría que su prueba sea más difícil de seguir y no más correcta que simplemente usar el conjunto de enteros positivos.

Debe encontrar una biyección (una función que es uno a uno y sobre) que asigna elementos del conjunto en cuestión al conjunto de números naturales.