Interpretaré su pregunta como “¿cuál es la suma de la serie [matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac1nx ^ n [/ matemáticas] y cuál es su intervalo de convergencia ? ”
Es una serie de potencia, por lo que su radio de convergencia [matemática] r [/ matemática] es el límite del valor absoluto de la relación de un coeficiente [matemático] \ dfrac1n [/ matemático] al siguiente coeficiente [matemático] \ dfrac1 {n + 1} [/ math] (si ese límite existe). Ese límite es [matemática] r = 1 [/ matemática]. Entonces, la serie converge absolutamente en el intervalo [matemáticas] (- 1,1) [/ matemáticas]. Puede verificar que converja condicionalmente en [math] x = -1 [/ math]. Por lo tanto, su intervalo de convergencia es [matemática] [- 1,1) [/ matemática].
Para encontrar a qué función [matemática] f [/ matemática] suma, puede tomar su derivada.
- Si conozco la masa de la Luna y la Tierra, ¿cómo calculo la velocidad y la distancia de la Luna a la Tierra para lograr una órbita estable?
- ¿Cómo usa la criptografía las matemáticas?
- Antes de que se probara el último teorema de Fermat, ¿se sabía que era más simple que el problema P = NP?
- ¿Las personas con un alto coeficiente intelectual no necesitan practicar matemáticas para "entenderlo"? (Siempre y cuando conozcan las leyes, normas, etc.)
- ¿Cuáles son algunos trucos para cálculos más rápidos que se dan en Matemáticas védicas para la preparación del CAT?
[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty x ^ {n-1} [/ matemáticas]
Esa es una serie geométrica con el primer término [matemática] 1 [/ matemática] y la relación [matemática] x [/ matemática], entonces [matemática] f ‘(x) = \ dfrac1 {1-x} [/ matemática]. Como esa es la derivada de [math] f [/ math], por lo tanto, [math] f [/ math] es la integral de [math] \ dfrac1 {1-x} [/ math].
[matemática] \ displaystyle f (x) = \ int_0 ^ x \ dfrac1 {1-t} \, dt [/ math] [math] = – \ log (1-t) \ bigg | _0 ^ x [/ math] [matemáticas] = – \ log (1-x) [/ matemáticas].