Todavía no tengo una derivación completa, a pesar de haber llenado varias hojas de papel con notas 🙂 Haré algunas observaciones, luego saltaré directamente a la línea de meta con la asistencia mecánica de WolframAlpha. Lo siento, ¡es lo mejor que puedo hacer ahora!
Suponga que [math] y_0 \ in \ mathbb {R} [/ math] y [math] y_n = \ dfrac {b} {y_ {n-1}} + a \ \ forall n \ in \ mathbb {N} [/ math] para algunos [math] a, b \ in \ mathbb {R} [/ math].
Podemos escribir [math] y_n = \ dfrac {ay_ {n-1} + b} {y_ {n-1}} [/ math], y si seleccionamos [math] r, s \ in \ mathbb {R } [/ math] tenemos:
- ¿Cómo funciona la operación 'redondear a par'?
- ¿Cuál es el significado de los invasores de Vassiliev?
- ¿Qué debo hacer con exponentes negativos en una fracción?
- ¿Cuál es la gráfica de | x | = 1?
- ¿Cuál es la 'localización' de una categoría?
[matemáticas] ry_n + s = \ dfrac {(ar + s) y_ {n-1} + br} {y_ {n-1}} [/ matemáticas]
Ahora, si queremos que el numerador del RHS sea un múltiplo del LHS, para trabajar hacia una transformación que nos dé una relación de recurrencia lineal para resolver, necesitaremos:
[math] ar + s = kr [/ math] y [math] br = ks [/ math] para algunos [math] k \ in \ mathbb {R} [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {ar + s} {r} = \ dfrac {br} {s} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto ars + s ^ 2 = br ^ 2 [/ matemáticas], es decir , [matemáticas] br ^ 2 – ars – s ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
Resolviendo para [math] r [/ math] en términos de [math] s [/ math] obtenemos:
[matemáticas] \ begin {align} r & = \ frac {1} {2b} \ left (como \ pm \ sqrt {a ^ 2s ^ 2 + 4bs ^ 2} \ right) \\ & = \ frac {s} {2} \ left (\ dfrac {a \ pm \ sqrt {a ^ 2 + 4b}} {b} \ right) \ end {align} [/ math]
Entonces podríamos usar [matemáticas] s = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] r = \ dfrac {a \ pm \ sqrt {a ^ 2 + 4b}} {b} [/ matemáticas], y así:
[matemáticas] y_n \ left [\ dfrac {a \ pm \ sqrt {a ^ 2 + 4b}} {b} \ right] + 2 = \ dfrac {\ left (a \ left [\ dfrac {a \ pm \ sqrt {a ^ 2 + 4b}} {b} \ right] + 2 \ right) y_ {n-1} + a \ pm \ sqrt {a ^ 2 + 4b}} {y_ {n-1}} [/ math ]
Al tomar una combinación apropiada de estos, deberíamos ser capaces de cancelar los denominadores [math] y_ {n-1} [/ math] y obtener una relación lineal que se pueda resolver, y luego revertir las diversas sustituciones y transformaciones. Aquí hay mucho más trabajo por hacer, pero estos factores [matemática] \ dfrac {a \ pm \ sqrt {a ^ 2 + 4b}} {b} [/ matemática] claramente serán importantes.
[matemáticas] \ cdots [/ matemáticas]
Establezcamos [matemáticas] p = \ dfrac {a + \ sqrt {a ^ 2 + 4b}} {b} [/ matemáticas] y [matemáticas] q = \ dfrac {a – \ sqrt {a ^ 2 + 4b} } {b} [/ matemáticas]. Entonces, la solución que WolframAlpha sugiere, después de un poco de simplificación / manipulación, para [math] y_n [/ math] en “forma cerrada” en términos de [math] y_0 [/ math] es la siguiente:
[matemáticas] \ boxed {y_n = \ dfrac {\ left (ay_0 + 2b \ right) \ left (p ^ n – q ^ n \ right) + y_0 \ sqrt {a ^ 2 + 4b} \ left (p ^ n + q ^ n \ right)} {\ left (2y_0 – a \ right) \ left (p ^ n – q ^ n \ right) + \ sqrt {a ^ 2 + 4b} \ left (p ^ n + q ^ n \ right)}} [/ math]
