[matemáticas] x ^ x = e [/ matemáticas]
Aplicando el mismo poder a ambos lados:
[matemáticas] (x ^ x) ^ {\ frac {1} {x}} = e ^ \ frac {1} {x} [/ matemáticas]
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[matemáticas] x = e ^ \ frac {1} {x} [/ matemáticas]
Dividiendo por [matemáticas] x [/ matemáticas]:
[matemáticas] 1 = \ frac {1} {x} e ^ \ frac {1} {x} [/ matemáticas]
Puede aplicar la función Lambert W:
[matemáticas] W (1) = W (\ frac {1} {x} e ^ \ frac {1} {x}) [/ matemáticas]
[matemáticas] W (1) = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ frac {1} {W (1)} \ aprox 1.76 [/ matemáticas]
Como se indica en la otra respuesta, no hay una solución analítica conocida para esto. Las aproximaciones numéricas son probablemente la mejor manera de hacerlo si no tiene acceso a una herramienta como Wolfram Alpha que pueda calcular los valores de la función Lambert W. El enfoque de aproximación se explica adecuadamente por la otra respuesta.
