La respuesta legal: depende de lo que quiere decir con solución.
Ciertamente, la ecuación x = x + 1 no tiene solución para los números reales x, por lo que, en sentido estricto, la respuesta es “no”. Pero si acepta “sin solución” como solución, entonces …
… la respuesta aún podría ser no. Después de todo, es concebible plantear una pregunta para la cual la existencia de la solución es indecidible. Esto es incluso peor que “sin solución”, ya que al menos la respuesta “sin solución” es definitiva. Estas preguntas tienden a ser algo esotéricas si no has visto un poco de matemática. Quizás la más conocida de estas preguntas es la hipótesis Continuum. Simplemente pregunta si hay un conjunto que tenga un tamaño estrictamente entre el tamaño de los enteros y el tamaño de los números reales.
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(Si no ha estudiado un poco sobre conjuntos infinitos, esta pregunta puede parecerle absurda. Pero, basta con decir que hay una forma bien definida y fácilmente comprensible de definir conjuntos infinitos, y es tal que el tamaño de los números reales son mayores que el tamaño de los enteros, aunque no es necesariamente obvio por qué).
Bien, ahora si admites “ninguna solución” y “propuesta indecidible” como posibles soluciones, entonces sí, cada problema tiene una solución.