Depende un poco de la pregunta a qué tipo de álgebra desea que hagamos referencia. Pero tomemos álgebra abstracta porque muchos de los conceptos son “solo” versiones más abstractas de los enfoques algebraicos lineales.
El polinomio ‘normal’ p: = [matemática] a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 +… + a_nx ^ n [/ matemática] es un ejemplo, donde a_i son elementos de un campo K. x es una variable aquí donde puede ingresar en realidad cualquier tipo de objeto algebraico que quieras . Es decir, no se limita a números “justos” como estamos acostumbrados desde la escuela secundaria. También puede colocar funciones, polinomios, matrices e incluso podría intentar verlo desde una perspectiva analítica funcional y colocar espacios de funciones. Su fantasía puede llevarlo a los espacios más salvajes qué elementos puede poner en el polinomio para “x” siempre que defina una adición (significativa) y una multplicación escalar en este conjunto de fantasía que conduzca a una estructura algebraica “adecuada”.
Ejemplos importantes para polinomios son el poinomio mínimo. Digamos que nuestros coeficientes a_i de arriba son números racionales. Ahora queremos saber el espacio más pequeño E donde el polinomio tiene sqrt (2) como raíz. Por eso, recordemos los axiomas que están involucrados. Queremos que las adiciones, las multiplicaciones y cualquier otro tipo de operación definida en nuestro campo permanezca en el campo (por supuesto, también debe recordar las leyes de distribución y distributivas). Entonces, esperamos números como 2+ sqrt (2), (7/3 + 8 / 4sqrt (2)) ^ 5, 7sqrt (2), 1, … dentro de nuestro campo (extendido). ¿Aún conmigo? ¡Bueno! Entonces, podemos adivinar que nuestro conjunto extendido tendrá el tipo E: = {x + sqrt (2) y | (x, y) € IQ ^ 2}. Cuando saque elementos de E y aplique los axiomas de campo, encontrará que es un campo. Incluso es el campo más pequeño cuando observa nuestro enfoque. (¡Para una prueba rigurosa, puedes preguntarme en la sección de comentarios!)
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Con respecto a este razonamiento, podemos esperar que el polinomio mínimo tenga que ver con preguntas para raíces en un conjunto específico. Sí, en particular, tenemos sqrt (2) y tiene sentido pedir el polinomio de menor grado que tiene sqrt (2) como raíz en E! Entonces estamos pidiendo el polinomio de grado más pequeño donde p (x) = 0. (¿Cómo llegamos a esta pregunta? Recuerde: el álgebra se trataba originalmente de resolver ecuaciones. ¡Pedir raíces es exactamente esto! Y es interesante si hay algunos polinomios principales que al principio cumplen una determinada condición).
