¿Cómo son útiles los números imaginarios?

Hay otras excelentes respuestas aquí. Lo mejor que puedo hacer es agregarles algo de otra manera.

Primero, permítanme cambiarles el nombre durante el resto de esta respuesta a números laterales , de acuerdo con la convención de nomenclatura recomendada por Gauss . Tengo una razón especial para usar esta convención de nomenclatura. Más tarde se hará evidente por qué he hecho esto.

Si examinamos los números laterales algebraicamente , emerge un patrón.

[matemáticas] i ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ 1 = i [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ 3 = -i [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ 4 = (i ^ 2) ^ 2 = (-1) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ 5 = i \ cdot i ^ 4 = i [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ 6 = i ^ 2 \ cdot i ^ 4 = (-1) (1) = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ 7 = i ^ 2 \ cdot i ^ 5 = -1i = -i [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ 8 = i ^ 4 \ cdot i ^ 4 = 1 \ cdot 1 = 1 [/ matemáticas]

Cuando elevamos los números laterales a potencias más altas, las respuestas no se vuelven cada vez más altas en valor como lo hacen otros números. En cambio, surge un patrón después de cada cuarta multiplicación. Este patrón nunca cesa.

Todos los demás números, además de los laterales, tienen un lugar en lo que actualmente se llama la ‘Línea de números reales’.
Califico el nombramiento de los números reales, porque incluso su conceptualización ha sido cuestionada por algunos matemáticos modernos muy incisivos. Ese es un tema muy “volátil” para los matemáticos convencionales y nos llevaría a una tangente diferente, así que dejaré esa idea para una pregunta diferente.

Si buscamos laterales en cualquier recta numérica real convencional, nunca los “ubicaremos”. Se encuentran allí, pero necesitamos mirar los números de manera diferente para ‘verlos’.

Los números laterales resuelven un problema en particular: encontrar un número, que cuando se multiplica por sí mismo, produce [otro] número negativo.
Números laterales ‘ unifique ‘ la recta numérica con el patrón algebraico que se muestra arriba.

2 es positivo y, cuando se multiplica por sí mismo, produce un número positivo. Mantiene la dirección en la recta numérica.

Cuando uno de los números (dejando el cuadrado brevemente) que se multiplica es negativo, la multiplicación produce un número negativo. La dirección ‘gira’ 180 ° en la dirección opuesta.

Multiplicar -2 por -2 nos devuelve a la dirección positiva, debido al cambio que resulta en la multiplicación por un número negativo, que siempre cambia nuestra dirección en la recta numérica.

Entonces, parece que no hay forma de aterrizar en un número negativo, ¿verdad? Necesitamos un número que solo gire 90 °, en lugar de 180 ° cuando se usan números negativos. Aquí es donde entran en juego los números laterales.

Si colocamos otro eje lateral perpendicular a nuestra recta numérica ‘Real’, obtenemos el ajuste de geometría deseado con nuestro álgebra.

Cuando multiplicamos nuestro número ‘Real’ 1 por i , obtenemos i algebraicamente , que corresponde geométricamente a una rotación de 90 ° de 1 a i .

Ahora, multiplicar por i nuevamente resulta en i al cuadrado, que es -1. Esta rotación adicional de 90 ° es igual a la rotación habitual de 180 ° cuando se multiplica por -1 (arriba).

[Incluso podemos ver este punto como si lo estuviéramos viendo en un eje perpendicular del origen mismo (moviéndonos hacia el origen desde nuestro punto de vista, a través del origen y luego fuera de la parte posterior de nuestra pantalla).]

[Si permitimos esta interpretación, podemos identificar el ‘giro’ de un punto alrededor del eje de su propio origen. La cantidad de giro está determinada por cuánto se mueve lateralmente el punto en términos de i .]

[Incluso podemos determinar en qué dirección se realiza la rotación. Agregaré cómo se hace esto a esta respuesta pronto. ACTUALIZACIÓN: Como se prometió, aquí está la primera respuesta sobre cómo determinar la dirección de rotación: la respuesta de Carey G. Butler a ¿Por qué funcionan los números imaginarios? más por venir …]

Cada vez que aumentamos nuestra rotación multiplicando por un factor de i , aumentamos nuestra rotación otros 90 °, como se ve aquí:

y,

El ciclo se repite en cada cuarta potencia de i .

Incluso podríamos agregar números laterales adicionales a cualquier punto arbitrario. Esto es lo que hago en mi conocimiento representaciones de holones. Por ejemplo, un punto en digamos 5 puede expresarse como cualquier número de laterales i, j, k, … simplemente sumando o restando cierta cantidad de i, j, k, …:

[matemáticas] 5 + i + j + k +… [/ matemáticas]

O incluso mejor como:

[matemáticas] [5, i, j, k, …] [/ matemáticas]

Ver números de esta manera hace un punto n -dimensional.

EDITAR: Supongo que dice algo que un borrador sin terminar y algo incoherente publicado accidentalmente recibe tres votos a favor. Texto corregido a continuación.

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Es lamentable que estos números increíblemente útiles se llamaran “imaginarios”, ya que esa etiqueta tiene connotaciones que sugieren inutilidad. Así que olvídate de lo “imaginario”; llámalos números verdes en su lugar y, para poner todo en igualdad de condiciones, llama a los números “reales” números rojos también.

Los números complejos consisten en un par de números, un número rojo y un número verde. Podemos pensar en un número complejo como un número bidimensional . Entonces, en lugar de representar solo una dimensión (por ejemplo, una longitud, o una edad, o un peso, etc.), un número complejo representa dos dimensiones (por ejemplo, una longitud y ancho, o una velocidad y una dirección, etc.) ,

Entonces eso es todo lo que realmente significa el “color” de un número; Es una forma de mantener separadas las dos partes de un número complejo.

¿Por qué nos importan los números complejos? Nos preocupamos por ellos porque hacen que todo tipo de matemáticas sea mucho más fácil de manejar. Son especialmente útiles cuando hacemos matemáticas con ondas. Y las olas juegan un papel en casi todas las partes de la física.

Aquí hay un ejemplo de cómo los números complejos hacen que las matemáticas sean más fáciles de manejar. Voy a representar una onda como un par de números, que llamaré amplitud y fase (no tienes que preocuparte por lo que significan). Si expreso la onda en notación cartesiana , se ve así:

[matemáticas] I = a + ib [/ matemáticas]

En este caso, las partes real e imaginaria están claramente separadas. Esta notación es útil cuando quiero agregar dos ondas juntas:

[matemáticas] I_1 = a_1 + ib_1, I_2 = a_2 + ib_2 \ Rightarrow I_1 + I_2 = (a_1 + a_2) + i (b_1 + b_2) [/ math]

También puedo expresar la onda en notación polar :

[matemáticas] I = \ alpha e ^ {i \ beta} [/ matemáticas]

Con la notación polar, es fácil multiplicar dos ondas juntas:

[matemáticas] I_1 = \ alpha_1 e ^ {i \ beta_1}, I_2 = \ alpha_2 e ^ {i \ beta_2} \ Rightarrow I_1 I_2 = \ alpha_1 \ alpha_2 e ^ {i (\ beta_1 + \ beta_2)} [/ math ]

“El camino más corto entre dos verdades en el dominio real pasa por el dominio complejo”.

– Hadamard

Si. La respuesta corta es que, básicamente, todo lo que depende de las matemáticas de nivel de cálculo o superior se hace más fácil mediante el uso de números complejos, hasta el punto de que ciertas cosas serían básicamente imposibles de obtener o entender de otra manera. Ver: ecuaciones diferenciales lineales, análisis de Fourier, convergencia de series de potencia, etc. No creo que pueda hacer ningún tipo de ingeniería (sin contar la “ingeniería de software”) sin comprender algo sobre números complejos. (Ciertamente no puede obtener el título de ingeniería o las licencias FE / PE que necesita sin ellos, de todos modos …)

EDITAR: La pregunta original era “¿Son útiles los números imaginarios?” de ahí el “sí” al comienzo de mi respuesta.

Me pregunté lo mismo en la escuela secundaria hace años cuando me enteré de ellos. Y recuerdo haber hablado con un amigo sobre esto porque él también pensó que eran extraños (‘partes imaginarias’ ¿qué?!), Y me dijo … ”Le pregunté a mi tío, que es ingeniero, y él me dijo que solo eran algunos cosas que aprendes en los primeros dos años de universidad. Entonces, realmente no los necesitas … “.

Ahora que veo esta pregunta. No puedo juzgar al tío de mi amigo, porque podría haber sido otro tipo de ingeniero donde esto no era necesario. Pero, según mi experiencia, finalmente puedo decir que sí sé por qué los números complejos son realmente útiles (para la vida cotidiana y para la mayoría de las personas).

¡Solo para señalar que esta confusión es bastante común para las personas que primero aprenden sobre números complejos que incluso llegaron al cine! Recuerdo haber visto una vieja película alemana (en blanco y negro) (aunque no soy alemán ni hablo alemán, solo un extraño desvío) donde había estudiantes de secundaria que estaban en una posición similar preguntando sobre el propósito del complejo números a su maestro. Y la maestra acaba de hablar sobre matemáticas más avanzadas y algún tipo de belleza. Lo cual tiene en sí mismo su importancia, pero supongo que en ese momento (WWWI-II) el uso práctico que mencionaré de los números complejos no estaba tan extendido ni tan importante para la población en general. Este uso es Sistemas de comunicación. (Si alguien pudiera señalar esta película, sería genial, intenté encontrarla pero no tuve éxito … Prometo que existe).

Los sistemas de comunicación modernos se basan en propiedades numéricas complejas muy simples pero fundamentales. Entonces, cuando usa su teléfono inteligente, hace algunos cálculos de números complejos para obtener sus datos.

En términos generales, puede enviar cualquier tipo de datos (texto, sonido, video, imágenes de gatos, bitcoins) con números complejos. Hay, por supuesto, muchos detalles en el medio. Pero, así es como funciona la transmisión aproximadamente.

imagen de gato -> bits (la compresión, por lo general depende del tipo de datos) -> números enteros (divida la secuencia de bits en fragmentos y asigne un número a cada fragmento de bit) – > números complejos (cada número entero generado previamente es un punto en una constelación en el plano complejo, como QAM, que es una cuadrícula cuadrada, solo la constelación de Google QAM).

Ahora, la matemática con respecto a los números complejos se refiere a qué tipo de transformaciones sufren estos valores complejos en el mundo real (qué modelo tiene sobre el mundo real). Así que puedes imaginar que esta matemática implica elegir la ‘constelación’, por ejemplo, cómo mapear bits-> enteros-> números complejos (puntos en una constelación) . Y sus ‘amigos’, que son funciones que hacen posible una transmisión confiable (operadores, otros códigos y similares).

Al final, los amigos también se preocupan por las propiedades fundamentales de los números complejos. Esto se debe a que quieren ayudar a que los símbolos complejos de la constelación atraviesen el otro lado (desde una antena hasta su teléfono).

Esto se debe a que muchas de las cosas complejas que suceden en el mundo real pueden reducirse a transformaciones de números complejos , o la capacidad de reconocer qué símbolos complejos envió. De hecho, una vez que otras personas inteligentes han resuelto la física, usted como ingeniero que construye un sistema de comunicación no necesita saber mucho sobre física. Esa es la magia de las ciencias de la comunicación (gracias Claude Shannon y muchos otros). Créame, si conoce los fundamentos de las manipulaciones de números complejos, puede llegar muy lejos.

Por ejemplo, un satélite en el espacio tiene un reloj diferente de los otros satélites y un receptor en la tierra (esto es parte del GPS). Para estimar la posición del receptor, debe tener en cuenta estas compensaciones de reloj, esto se reduce a estimar cuánta ‘rotación’ había en los símbolos enviados.

Otro ejemplo interesante es cómo modela el medio físico . Resulta que una abstracción llamada LTI (invariante de tiempo lineal) para canales es bastante útil en la práctica, por simple que parezca. Entonces, si se aproxima al mundo complejo con un ‘sistema lineal’, puede obtener una comunicación confiable. ¿Cómo? gracias a los números complejos 🙂. Resulta que los exponenciales complejos (solo piense en la forma polar de los números complejos) son lo que se llama ‘funciones propias’ de los sistemas LTI . Y los esquemas de transmisión inteligente como OFDM tienen esto en cuenta para superar las dificultades que vienen con las características del canal (demora, atenuación, transformaciones de múltiples rutas).

Si tienes curiosidad sobre esto. Puedo recomendarle cursos gratuitos en línea como Introducción a EECS II: Sistemas de comunicación digital

o un libro:

Principios de comunicación digital por Bixio Rimoldi

En el aspecto práctico, puede comenzar mirando el tutorial sobre transmisor / receptor como QPSK Transmitter and Receiver, hay toneladas de implementaciones para aprender. Luego, puede ver sistemas más complejos como el GPS (LIDAR, que hoy es un tema atractivo con startups de mil millones de dólares, tampoco es muy diferente). Créeme, los números complejos se quedarán …

Espero que ayude. Entonces, sí, los números complejos son geniales y bastante útiles :).

Los números imaginarios surgen cada vez que nos encontramos tratando de sacar una raíz par (raíz cuadrada, cuarta raíz, etc.) de un número negativo. Esto sucede con bastante frecuencia cuando, por ejemplo, estamos tratando de resolver polinomios. Las raíces de un polinomio son los puntos en los que la curva polinómica intercepta el eje x. Por ejemplo, usando [math] y = .3x ^ 3 + .6x ^ 2-.6x-.5 [/ math]:

Esta curva polinómica intercepta el eje x en 3 puntos (aproximadamente -2.5, -.5 y 1.2). Pero ahora compare con esta curva polinómica, usando [math] y = .3x ^ 3 + .6x ^ 2-.6x + .5 [/ math]:

Esta es exactamente la misma curva desplazada hacia arriba por 1. Debe tener el mismo número de raíces que la primera curva (ya que, de hecho, es la misma curva), pero dado que solo intercepta el eje x una vez (alrededor de -3 ), hablamos de las otras dos raíces como imaginarias , y si hacemos los cálculos encontramos que estas raíces imaginarias terminan involucrando la raíz cuadrada de un número negativo.

De hecho, números imaginarios de este tipo surgen todo el tiempo en geometría y trigonometría; Puedes considerarlo como una forma de lidiar con el hecho de que las matemáticas pueden calcular cosas, como áreas negativas, volúmenes negativos o intersecciones ‘virtuales’, que no tienen sentido o significado en la geometría del sentido común del mundo real.

El logaritmo de 0 tiene su propio símbolo, a saber, -∞. Puede agregar este símbolo (junto con + ∞) al sistema de números para obtener los números reales extendidos. Este sistema no es tan bueno como los números reales, porque la suma y la multiplicación no pueden extenderse a estos nuevos elementos de manera consistente, dejando ciertas expresiones como 0 · ∞ indefinidas. Aparentemente no hay ningún beneficio en tratar de dar -∞ su propio eje. Quiero decir, claramente pertenece es “al final” del eje existente.

Por el contrario, cuando agregamos una raíz cuadrada de -1, llamémosla i, a los números reales, obtenemos un sistema que es tan bueno como los números reales. En otras palabras, las expresiones que involucran números reales, las cuatro operaciones básicas, y todas tienen sentido y pueden reducirse a un número real más i veces otro número real (a menos que surja una división por 0, pero eso también es una advertencia para los números reales) .

Podemos visualizar un número complejo (un número real más i veces otro) graficando este par de números reales en un plano de coordenadas. Pero no tiene mucho sentido a menos que algo útil provenga de esa visualización. Resulta que sucede algo tremendamente útil : la simple multiplicación antigua por un número complejo corresponde a una rotación sobre el origen combinada con una escala con respecto al origen. Entonces, algunas nociones geométricas muy concretas e importantes (rotación y escala) corresponden a una noción algebraica muy simple (multiplicación). Este simple hecho es la fuente de muchas ideas profundas y hermosas en análisis complejos.

Entonces, la razón por la que la raíz cuadrada de -1 tiene su propio eje es que cuando se hace eso sucede algo bueno. Muchas otras expresiones indefinidas se dejan indefinidas, ya que no sucede nada particularmente claro si intenta asignarles un significado.

Esta puede ser una respuesta fuera de su conocimiento de las matemáticas. Sin números complejos no podría haber resuelto un problema en física. Entonces eso responde “por qué”; y el “dónde” está en el campo de la física que trata de explicar las extrañas acciones del mundo subatómico. Aquí está la respuesta técnica que publiqué antes:

Para mi disertación, utilicé el plano complejo para integrar alrededor de una singularidad que existía en la recta numérica real. Dado que la función fue cero a infinito, la integral a lo largo de la línea en el plano complejo era igual a la de la línea real, por el teorema integral de Cauchy. De lo contrario, la singularidad habría impedido el cálculo. Aquí está la ilustración de la disertación:

En matemática pura, se pueden usar números complejos, entre otros, para evaluar integrales (“por residuos”). Muchas partes de las matemáticas solo tienen sentido si se consideran sobre los números complejos; por ejemplo, las funciones exponenciales y trigonométricas resultan ser dos aspectos de la misma cosa.

Pero supongo que está preguntando acerca de las aplicaciones del “mundo real”. Un uso es en electricidad. La impedancia total de un circuito que tiene resistencia, inductancia y capacitancia no despreciables se representa más convenientemente mediante un número complejo.
También en mecánica cuántica, la función de onda φ tiene un valor complejo.

Gracias por el A2A …

Los números complejos se utilizan para poblar las matrices unitarias y unitarias especiales que de los tres grupos de mentiras que sustentan el modelo estándar de física de partículas:

• U (1) – Capítulo 13 – Primer contacto – U (1)
• SU (2) – Capítulo 14 – Determinación – U (2) y SU (2)
• SU (3) – Capítulo 21 – SU (3) y el significado de la mentira (incompleto)

Los números imaginarios (y los números “complejos” de los que forman parte) son una forma de construir un formalismo para calcular rotaciones en coordenadas cartesianas (xy) en lugar de coordenadas polares o cuaterniones.

Siempre he sido escéptico sobre la elección de palabras en la nomenclatura de números imaginarios y complejos, ya que generalmente oculta la aplicación, por lo demás bastante obvia, a rotaciones en dimensiones más altas y operaciones en funciones sobre dominios cerrados y cerrados.

Los números complejos no tienen ningún significado físico, es solo una mano corta en los cálculos.

Mira esta lista de reproducción Los números imaginarios son reales, explicará todo lo que necesitas.

El criterio de estabilidad de Nyquist usa números complejos y le dice si un sistema dinámico es estable. Entonces, si le importa que el piloto automático de su avión no se corrija demasiado por un poco de turbulencia y envíe el avión en espiral, o que su elegante sistema de sonido no haga ese ruido de retroalimentación cuando el micrófono esté demasiado cerca de los altavoces, o que su cohete sigue subiendo en lugar de volcarse y regresar hacia abajo, o que la turbina de su planta de energía no comienza a girar accidentalmente demasiado rápido y se rompe más rápido de lo que puede apagar el combustible, entonces le importan los números complejos.

Cuando supe por primera vez sobre la i, la raíz cuadrada de -1, pensé que sería un número ficticio tonto que nunca sería de importancia para mi estudio. Un número ‘imaginario’ nunca podría aparecer en el mundo real, ¿verdad?

Chico, estaba equivocado. Claro, no es tan común como valores como ‘e’ o ‘pi’, pero ‘i’ aparece en un sorprendente número de lugares. La teoría de circuitos utiliza ecuaciones diferenciales que involucran i, así como muchos otros campos que involucran funciones de onda senoidal y cosenoidal. Modelar el flujo de fluidos alrededor de los objetos a veces implica trabajar con números imaginarios. Al modelar propiedades físicas usando matrices, pueden aparecer valores imaginarios cuando se usan cosas llamadas valores propios y vectores propios.

Probablemente haya varias otras instancias de aparecer en el ‘mundo real’ que no he enumerado, pero creo que he demostrado mi punto. Aparece bastante y, por lo tanto, es bastante especial.

A2A. Los números imaginarios en el mundo real te dicen por qué los números imaginarios son usualmente. Puede encontrar otros usos buscando en Google “qué aplicaciones del mundo real usan números imaginarios”.

Tomar el límite de log (0) cuando se acerca a cero da infinito negativo. Puede que no esté definido, pero está claro hacia dónde se dirige.

sqrt (-1) no puede ser descrito por cálculo, pero es un número útil. Usando números complejos podemos analizar problemas de formas imposibles o muy difíciles en el plano real.

El uso del operador i en las coordenadas x, y solía pasar por encima de mi cabeza. Quiero decir, ¿qué tiene que ver la raíz cuadrada inexistente de -1 con la rotación de 90 grados en sentido antihorario? Entonces se me ocurrió que yo es el único número que multiplicado por sí mismo cuatro veces lo devuelve a sí mismo. Entonces, si 0 grados es 1, 90 grados es i, 180 grados, que es opuesto a 0 grados, es -1, 270 grados, que es opuesto a 90 grados, es -i, y 360 grados lo lleva de nuevo a 1. Es como Va en un círculo. Pero todavía no obtengo la ventaja de usarlo simplemente dando la coordenada x, una coma, luego la coordenada y.

Mire cuidadosamente mi artículo sobre dilución de plasma. Es un modelo de lo que sucede cuando los humanos reciben líquido IV mientras están bajo anestesia y cirugía:

http://journals.sagepub.com/doi/ …