Si lanzo un dardo a un tablero de dardos, ¿existe la posibilidad de que aterrice en un punto cero? ¿Como funciona esto?

Un tablero de dardos es un objeto circular del mundo real. Está hecho de un número finito de partículas, aunque el número es bastante grande. Si arrojas un dardo a este objeto del mundo real, se quedará atrapado entre algunas de esas partículas.

Un círculo del tamaño del tablero de dardos es un objeto matemático idealizado. Contiene un número infinito de puntos. Las probabilidades de llegar a un punto en particular son casi cero.

En resumen, estás comparando un objeto del mundo real con un concepto matemático idealizado. En este caso, no se pueden usar indistintamente.

De hecho, hay un número infinito de lugares donde el dardo puede aterrizar, si asumimos que el punto del dardo es infinitamente pequeño. Sin embargo, en la práctica, el punto del dardo tendrá un área de sección transversal de al menos 1 mm al cuadrado, y si puede imaginarse dibujando una cuadrícula de 1 mm sobre el tablero de dardos, puede ver que (suponiendo que el dardo golpee el tablero), va a golpear uno o más cuadrados en esa cuadrícula. El número de cuadrados es grande, pero en realidad no es infinito. Si prefieres una cuadrícula más fina, digamos 1 micrómetro, puedes ser mucho más preciso al describir el lugar donde golpea el dardo, y el número de cuadrados será considerablemente mayor, pero aún no infinito. Podría ir incluso más fino, a 1 nanómetro o menos, hasta el punto donde los cuadrados son del tamaño de las moléculas que componen la superficie del tablero de dardos y su denominador, aunque ahora es muy grande, TODAVÍA no es infinito.

Esto siempre me ha molestado un poco también. Pero hay un par de puntos a considerar que tal vez puedan ayudarlo con su confusión.

Después de pensar un poco en esto, creo que el problema está en cómo piensas en la pregunta. Parece que estás pensando en dos cosas diferentes: alcanzar un punto determinado y predecir qué punto vas a alcanzar.

Por simplicidad, supongamos que cada vez que lanzas un dardo, en realidad golpea el tablero. En este caso, la probabilidad de que llegue a uno de los puntos en el tablero de dardos es 1, no 0. Pero no creo que esta sea realmente la respuesta a su pregunta.

Creo que el problema es más sobre la incertidumbre de dónde aterrizará exactamente el dardo. Supongamos que en realidad eres una máquina que puede golpear cualquier punto en el tablero de dardos que quieras cada vez que haces un lanzamiento.

Bueno, en este caso, el resultado es totalmente determinista en el sentido de que la predicción de dónde aterriza el dardo siempre coincidirá con dónde realmente aterriza el dardo. Entonces, nuevamente, la probabilidad de que el dardo llegue a un punto dado debería ser 1.

El escenario que describe es más parecido a seleccionar aleatoriamente un punto en un intervalo infinito. En este caso, la probabilidad de seleccionar un punto específico es 0. Por supuesto, si tiene un conjunto finito de puntos [matemáticos] N [/ matemáticos], entonces la probabilidad de seleccionar aleatoriamente un punto específico es [matemática] \ frac {1} { N} [/ matemáticas].

Claro, a medida que [math] N [/ math] se vuelve realmente grande, esta probabilidad va a 0, pero la pregunta que está haciendo es más acerca de tratar de resolver el hecho de que la probabilidad de elegir un punto es 0 cuando en realidad se selecciona un punto .

Pero si está seleccionando puntos, seleccionará un punto con probabilidad 1, simplemente no apueste sus ahorros de vida en qué punto exacto golpeará antes del lanzamiento.

Para resumir: suponiendo que golpeas el tablero de dardos, la probabilidad de golpear un punto es 1, mientras que la probabilidad de saber el punto que golpeaste antes de lanzar el dardo es 0.

Para un tablero de dardos idealizado, la probabilidad es cero, básicamente por la razón que usted indicó.

La razón de su confusión es que para conjuntos infinitos, “este evento tiene probabilidad 0” no es lo mismo que “este evento nunca puede ocurrir”.

Esto sucede todo el tiempo con conjuntos infinitos. Las posibilidades de que seleccione un número real aleatorio particular entre 0 y 1 son cero. Pero tan pronto como selecciona un número, ha elegido uno con probabilidad 0, por lo que tener una probabilidad de cero no es lo mismo que imposible.

(Me molesta que en la escuela secundaria se enseñe a los estudiantes que una probabilidad de cero significa que algo es imposible. Eso solo es cierto para conjuntos finitos, pero esta advertencia no se menciona. Por lo tanto, generaciones de personas han dejado la escuela secundaria creyendo que los eventos con probabilidad cero son imposibles. Eso no es cierto en general).

Veamos qué significa realmente la probabilidad, es decir, cómo se define formalmente. La probabilidad p de que ocurra un evento A en un experimento se define como el límite

# de veces que ocurre A / # total de experimentos

a medida que el número de experimentos se acerca al infinito.

Ahora volviendo a su pregunta, suponga que golpeó el tablero de dardos en la posición A. Una vez hecho esto, nunca volverá a golpear A. Por lo tanto, el numerador permanece en una constante 1. Y a medida que el denominador se acerca al infinito, la relación se acerca a 0. Por lo tanto, p = 0.

Hay muchas respuestas correctas con fórmulas, pero ninguna de ellas respondió su pregunta con números. Así que, aquí vamos. Conocer el tamaño del tablero de dardos (un tablero de dardos estándar tiene 17.75 pulgadas de diámetro. El círculo en el tablero de dardos está dividido equitativamente en 20 segmentos en forma de pastel. Contiene un anillo interno, u ojo de buey, que tiene un diámetro de media pulgada , y un anillo exterior que rodea la diana con un diámetro de 1.25 pulgadas.) y suponiendo que desea calcular la probabilidad de golpe de “ojo de buey”, si el dardo golpea en cualquier parte del tablero, obtenemos:
área del ojo de buey: pi * (1/4) ^ 2 = pi * 1/16
área de toda la placa: pi * (17.75 / 2) ^ 2 = pi * 78.76

y la probabilidad = área de ojo de buey / área de tablero = 0.0008 (aprox)
así que si puedes golpear el tablero, darás en el blanco 8 veces en 10000 tiros (o una vez en 1250 tiros). (0.08%)

Cuando se habla de infinito, está usando límites, que ya no le dan un valor (como X = 0) sino un valor cercano (como X → 0).

En este ejemplo, puede acercarse a 0 hasta cierto punto, luego deja de tener sentido.

Digamos que haces una cuadrícula del tablero de dardos con cuadrados de 1 cm². No importa si el dardo golpea el cuadrado (2; 2) o (2.3; 2), porque ambos apuntan al mismo cuadrado, lo que significa que puede descartar los valores decimales.
Si cambia la cuadrícula a cuadrados de 1 mm² obtendrá una probabilidad más cercana a 0, pero aún no puede decir que es 0.

Suponiendo que pueda medir la posición del dardo con precisión atómica, puede descartar cualquier cosa que dé átomos decimales por la misma razón anterior.
Incluso puede bajar a longitudes de tablones y descartar cualquier cosa que dé tablones decimales.

En algún momento llegarás a un número finito de cuadrados que puedes medir e incluso cuando la probabilidad de cada uno sea “0”, seguido del mayor número que puedas pensar en 0 y que termine con un número distinto de cero, sigue siendo un valor finito que hará que 1 / X = 0 sea falso.

A menos que la mecánica cuántica nos dé una mejor explicación de cómo funciona el continuo del espacio-tiempo, lo que probablemente cambiaría gran parte de la forma en que trabajamos con el infinito.

Ignoremos la física aquí, y solo miremos las matemáticas.

El error en su razonamiento ocurrió cuando escribió “1 / infinito, que es 0”.

Puedo entender por qué lo escribiste, porque así es como la mayoría de la gente lo piensa, pero para un matemático, eso está mal.

Infinito no es el mismo tipo de cosas que números como 1, 2, 27 u 87465267584787857863.

No es una bestia simple que puedes conectar a una división.

Las matemáticas necesarias para manejar esto normalmente se enseñan sobre el segundo año de un curso universitario de matemáticas, y no puedo explicarlo exhaustivamente / rigurosamente en una respuesta de Quora.

Pero la intuición, a un nivel muy alto, va en la línea de … A medida que dividimos 1 entre números cada vez más grandes, el resultado de la división se acerca cada vez más a cero. Podemos demostrar (vea el párrafo anterior el tiempo que tarda) que si sabemos qué tan cerca de cero queremos llegar, que hay un número lo suficientemente grande …

… Pero la forma de pensar en el infinito en este contexto es como una serie de aproximaciones. Podemos razonar acerca de las aproximaciones y descubrir que, dado que sabemos que el dardo golpea en alguna parte, hay una forma de trabajar con todo esto que significa que la probabilidad no fue cero después de todo, o que un número infinito de ceros puede agregar a algo que no sea cero. Pero en este caso, el cero es esta aproximación divertida, por lo que el cero tampoco significa lo que pensabas.

Cuando trabajas con series infinitas, nada funciona como el sentido común te dice que debería hacerlo. Las matemáticas avanzadas son un conjunto de formas de trabajar con estas “nada funciona de la manera que el sentido común le dice que debería” para reunirme con resultados que sean demostrablemente verdaderos y, en algunos casos, útiles.

Un tablero de dardos tiene una cantidad infinita de puntos, esto es cierto.

Pero, la probabilidad 1 / infinito no es igual a 0.

Más bien, el límite 1 / infinito es igual a 0. Sin embargo, la probabilidad nunca llega a 0 porque 1 / infinito solo se acerca a 0, nunca lo toca.

Bueno, de manera realista, la punta del dardo no es un solo punto. La punta del dardo tiene un área definida, por lo que su probabilidad de golpear algún punto en el tablero de dardos sería más similar (área de punta / área del tablero de dardos).

Si imaginamos que la punta del dardo es realmente un único punto y no una superficie 2D, entonces me imagino que la probabilidad sería 0.

La razón por la que este escenario funciona es que si “sumas” un número adecuadamente infinito de cosas que tienen “tamaño” 0, puedes obtener una suma que no es cero.

Estoy usando los términos “sumar” y “tamaño” aquí libremente.

La afirmación matemática precisa es que la unión de innumerables conjuntos que cada uno tiene una medida cero individualmente puede tener una medida estrictamente positiva.

Este es solo uno de los muchos ejemplos de situaciones matemáticas en las que la intuición no es muy útil. La intuición puede ayudar en las matemáticas, pero no es suficiente confiar en ella.

Bien. Técnicamente a pesar de que ha sido descontinuado en las matemáticas populares. La respuesta no es 0. La respuesta es infinitesimalmente pequeña. Tan improbable como puede llegar la improbabilidad (o la probabilidad, no estoy seguro de cuál aplica aquí).

Esto se debe a que los puntos son infinitamente pequeños. Por lo tanto, si la única garantía es que el dardo golpeará el tablero contra ellos, es probable que golpee cualquier punto individual es un infinitesimal.

Infinitos infinitos hacen la probabilidad 1.

La respuesta precisa a esta pregunta es “probabilidad diferente de cero”. La razón de esto es que obviamente es posible alcanzar cualquier punto dado, pero es muy poco probable. Es solo que la medida de esa probabilidad debe ser, esencialmente cero, ya que estamos tratando con infinito. Si fuera otra cosa que cero, no sería infinito, ¿verdad?

Sin embargo, es bastante inútil hablar de esto, ¿no? ¿Qué hacemos con este conocimiento? Casi nada. : _)

El dardo no aterriza en un punto. El dardo aterriza en un disco de puntos que es del mismo tamaño que la sección transversal de la punta del dardo. La probabilidad de un disco en particular, suponiendo que el lanzamiento definitivamente golpea el tablero pero es completamente aleatorio, es igual al área del disco dividida por el área del tablero.

Además, no hay un número infinito de puntos en el tablero de dardos. El tablero de dardos está formado por átomos y moléculas: el número de puntos distinguibles incluso para el dardo más realizable físicamente podría escalar como el número de átomos en el tablero. Enorme, ciertamente, pero no infinito.

La definición clásica de probabilidad falla aquí. Debe aplicar la probabilidad geométrica, ya que el tablero de dardos tiene una figura 2d

P = Área favorable / área total

Para obtener un área favorable, debe encontrar el área de la punta del dardo que es casi insignificante en comparación con el área del tablero, pero no puede suponer que sea cero. Entonces, la probabilidad de aterrizar en cada punto es igual, lo que tiende a cero.

Espero eso ayude.

Por ‘posibilidad’ quieres decir ‘probabilidad’? Entonces, la probabilidad de que el dardo caiga en cualquier punto es el área de la sección transversal de la aguja del dardo dividida por el área total del tablero de dardos.

Realmente no tiene sentido hablar de un dardo físico que aterriza en un punto matemático. Si especificamos un área del tablero de dardos, habrá una probabilidad finita de que el dardo aterrice en esa área. Si reducimos el área especificada a una más pequeña, la probabilidad será menor. En el límite, a medida que estrechamos el área hacia cero (un punto único), la probabilidad se acercará a cero, pero realmente no tiene sentido reducir el área más allá de la precisión con la que podemos medir físicamente la posición del dardo. En ese punto habrá una probabilidad pequeña pero finita de que el dardo golpee el área pequeña especificada.

Esta probabilidad muy pequeña es una forma de expresar que si bien no sabemos exactamente dónde golpeará el dardo, sabemos que golpeará en algún lugar, y sabemos algo sobre dónde es más probable que golpee.

Para decirlo de otra manera, suponga que hizo un solo punto en el tablero con un bolígrafo y le pidió al lanzador que golpeara ese punto exactamente. Las posibilidades de hacerlo serán pequeñas, pero no nulas, porque el punto tiene un área pequeña pero no nula.

Esto se debe a que 1 / infinito no es realmente igual a cero, solo se supone que es así. De hecho, es un número lo más cercano a cero que puede obtener, pero aún así no es igual a cero. Por lo tanto, todavía existe la minúscula probabilidad de que el dardo caiga en el acto.

Después de leer una pregunta sobre los agujeros negros, tenemos que asumir que el tablero de dardos finalmente llega al tablero.

Lo contrario también es posible, donde todas las partes del tablero tienen una probabilidad de 1 si la punta del dardo fuera más grande que el tablero.