Intentar aplicar la definición del diccionario a una definición matemática no es una buena idea. Las definiciones matemáticas generalmente necesitan ser más precisas. Además, aunque el significado de infinito es similar en muchos contextos matemáticos, el infinito en un contexto puede significar algo diferente en otro. Por ejemplo, la cardinalidad (tamaño) infinita de los conjuntos es diferente de los límites de las funciones f (x) cuando x se acerca al infinito.
Para desafiar su intuición de que no puede tener infinitos “más grandes”, primero debe tener una definición precisa de lo que quiere decir con “más grande” cuando habla de estas cosas. No está comparando el tamaño de una manzana con el tamaño de una pelota de baloncesto. Una noción de “más grande” es la inclusión de subconjuntos, es decir, un conjunto A es un subconjunto de B si todo en A está contenido en B. Considere el plano xy. El eje x contiene todos esos puntos de la forma (x, 0) y dado que podemos usar cualquier número real para x, el eje x contiene infinitos puntos. Sin embargo, el plano xy contiene todos los puntos de la forma (x, y) donde x e y son números reales, por lo que el eje x es un subconjunto del plano xy y de hecho [el plano xy] es mucho más grande (en el sentido de inclusión de subconjuntos) ya que el plano xy no solo contiene el eje x, una línea, sino que contiene infinitas líneas, como todas las líneas paralelas al eje x. Sin embargo, no siempre puede comparar conjuntos con inclusión de subconjuntos: por ejemplo, el eje xy el eje y no son comparables porque ninguno de los dos es un subconjunto del otro.
Otra forma de comparar conjuntos es la cardinalidad. Dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si hay un mapa que identifica un elemento de A con un elemento de B de tal manera que el mapa identifica todo en B con algo en A (el mapa se llama o sobreyeje) y no hay dos elementos de A correlacionados con el mismo elemento de B (el mapa en este caso se llama uno a uno o inyectivo). Tal mapa que es uno a uno y sobre se llama biyección. Un ejemplo del mundo real de una biyección: personas y ADN (hasta donde sabemos). Cada persona tiene una composición genética única para que podamos mapear a una persona a su genoma y esto es una biyección (los clones cambiarían este hecho). Entonces, si existe una biyección entre dos conjuntos, tienen la misma cardinalidad. Curiosamente, aunque el plano xy era más grande que el eje x en el ejemplo anterior usando la inclusión de subconjuntos, no es más grande usando la cardinalidad. De hecho, son del mismo tamaño porque uno puede demostrar la existencia de una biyección entre los dos. Otro ejemplo en el que un conjunto que es “más grande” en el sentido de subconjunto pero que tienen la misma cardinalidad es el conjunto de enteros y el conjunto de enteros pares. El conjunto de todos los enteros contiene el conjunto de todos los enteros pares, pero el mapa f (n) = 2n que toma un entero n y lo asigna al entero par 2n es una biyección.
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Ahora la pregunta es: ¿pueden dos conjuntos infinitos tener una cardinalidad diferente? Esto es obviamente cierto para los conjuntos finitos: no hay biyección entre los conjuntos finitos {1,2,3} y {4,5}. Si intentas mapear {1,2,3} a {4,5} biyectamente, violarías el requisito de que el mapa sea uno a uno y si intentas mapear de la otra manera, violarías el requisito de que el mapa estar en De hecho, es cierto que dos conjuntos infinitos pueden tener una cardinalidad diferente. Utilizando su famoso argumento de diagonalización, Georg Cantor demostró que no hay biyección del conjunto de números naturales al conjunto de números reales, lo que nos obligó a distinguir entre los dos infinitos como contables e incontables. Ahora la pregunta es: ¿pueden dos conjuntos incontables tener cardinalidades diferentes? Esto también es cierto y, de hecho, puede generalizar el argumento de diagonalización y hablar en términos de conjuntos y conjuntos de potencia. Un conjunto de potencia de un conjunto A es el conjunto de todos los subconjuntos de A. No puede haber biyección entre un conjunto y su conjunto de potencia. Por lo tanto, no hay biyección entre el conjunto de números reales y el conjunto de potencia de los números reales, los cuales son infinitamente infinitos.
Entonces, los conjuntos infinitos pueden tener diferentes cardinalidades, pero ¿existe una noción de “más grande” en lo que respecta a la cardinalidad, es decir, siempre se pueden comparar dos conjuntos con diferente cardinalidad para decir que uno es “más grande” que el otro? Si. Usamos funciones uno a uno (inyecciones) para comparar dos conjuntos con diferente cardinalidad. Dados dos conjuntos, siempre hay una inyección de uno de ellos al otro. Esto es relativamente fácil de ver si tenemos dos conjuntos A y B de diferente cardinalidad y no podemos mapear A inyectivamente a B, lo que significa que nos hemos quedado sin cosas que podemos mapear en B, así que al menos tenemos un mapear sobre B. Podemos tomar este mapa (llamarlo f) y construir una inyección (llamarlo g) de B a A tomando un elemento de B, digamos b, y encontrando aquellos a en A para los cuales f (a) = b y asignando g (b) = a precisamente para una de esas a en A. Entonces g es una inyección, pero no está aplicada ya que no usamos todas las a en A. Ahora que sabemos que las inyecciones siempre existen alguna dirección entre dos conjuntos de cardinalidad diferente, los comparamos diciendo que B es “más grande” que A si hay una inyección de A a B.
Ahora supongamos que no sabemos si A y B tienen las mismas o diferentes cardinalidades. Si podemos encontrar una inyección de A a B, entonces B es al menos tan grande como A. ¿Qué pasa si podemos encontrar una inyección de B a A? Entonces A es al menos tan grande como B, por lo que nos gustaría decir que A y B tienen la misma cardinalidad. Podemos decir esto, de hecho, y esto se conoce como el teorema de Schröder-Bernstein.
En conclusión, dado cualquier conjunto, siempre puede encontrar un conjunto de cardinalidad más grande (su conjunto de poder) y dados dos conjuntos, uno siempre es al menos tan grande como el otro en el sentido de cardinalidad (aunque puede no ser obvio cuál es cuales). Entonces, existe una noción de “más grande”, usando cardinalidad, donde se puede decir que los conjuntos infinitos son más grandes que otros conjuntos y, de hecho, siempre hay un conjunto más grande que cualquier conjunto dado y la cardinalidad de hecho ordena completamente todos los conjuntos.