¿Cuál es la suma de los cubos de las raíces de [matemáticas] y = 2x ^ 4 + 3x ^ 3 + x ^ 2 – 2x – 2 [/ matemáticas]

Aquí hay una forma genial de hacerlo.

Deje que las raíces sean a, b, c, d.

Defina Sn = a ^ n + b ^ n + c ^ n + d ^ n, donde n es un número entero.

Ahora, las raíces satisfacen la ecuación dada, es decir

2a ^ 4 + 3a ^ 3 + a ^ 2 -2a -2 = 0
2b ^ 4 + 3b ^ 3 + b ^ 2 -2b-2 = 0
2c ^ 4 + 3c ^ 3 + c ^ 2–2c-2 = 0
2d ^ 4 + 3d ^ 3 + d ^ 2–2d-2 = 0

Multiplica el primero por a ^ n, el segundo por b ^ n, el tercero por c ^ n, el cuarto por d ^ n.
Luego agréguelos para obtener

2S (n + 4) + 3S (n + 3) + S (n + 2) – 2S (n + 1) – 2Sn = 0

Ahora, lo que quieres encontrar es S3. Simplemente ingrese n = -1 en la ecuación dada, ya que se aplica a toda la integral n.

2S3 + 3S2 + S1 -2S0 -2S-1 = 0

S2 puedes encontrar como es

(a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2) = (a + b + c + d) ^ 2 -2 sigma ab

S2 = (-3/2) ^ 2 – 2 (1/2) = 9/4 – 1 = 5/4

S-1 = 1 / a + 1 / b + 1 / c + 1 / d = abc + bcd + abd + acd / abcd = 1 / -1 = -1.

2S3 + 3 (5/4) -3/2 -2 (4) -2 (-1) = 0

2S3 + 15/4 -6/4 – 8 +2 = 0

2S3 +9/4 -6 = 0

2S3 = 15/4

S3 = 15/8

Hagamos esto en general.

Considere un polinomio de grado n

[matemáticas] P (x) = a_n x ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} +… + a_0 [/ matemáticas]

Este polinomio también se puede escribir como

[matemática] P (x) = a_n (x-r_1) (x-r_2)… (x-r_n) [/ matemática]

Donde [math] r_1, …, r_n [/ math] son ​​las raíces del polinomio.

Cuando expande los corchetes y recopila los términos, debe ser el mismo que en la primera línea. Entonces, encontremos los primeros términos.

El término que contiene [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] es [matemáticas] a_n x ^ n [/ matemáticas].

Para el segundo término, que contiene [matemática] x ^ {n-1} [/ matemática], obtiene una [matemática] x [/ matemática] de cada paréntesis, excepto uno que contribuye [matemática] a_n × (-r_i) [/matemáticas]. Pero hace esto para todos los corchetes, por lo que el término que contiene [matemáticas] x ^ {n-1} [/ matemáticas] es [matemáticas] a_n × (-r_1-r_2… -r_n) [/ matemáticas]

Por eso tenemos eso

[matemáticas] a_ {n-1} = – a_n \ sum ^ {n} _ {i = 1} r_i [/ ​​matemáticas]

Y así, la suma de todas las raíces es [math] -a_n / a_ {n-1} [/ math]. En su ejemplo, obtenemos [math] -3/2 [/ math].

El sabor de tal pregunta plantea una solución similar a la de Awnon Bhowmik. Sin embargo, no puedo lidiar con el álgebra, así que primero escribe

[matemáticas] y = (x + 1) (2 {x ^ 3} + {x ^ 2} – 2) [/ matemáticas].

Ya debe tener [matemáticas] (- 1) ^ 3 = -1 [/ matemáticas] para ir hacia la suma.

Deje que los ceros de [math] y = 2x ^ 3 + x ^ 2–2 [/ math] sean [math] \ alpha, \ beta, \ gamma [/ math].

Entonces [matemáticas] \ alpha + \ beta + \ gamma = – \ frac {1} {2}, \; \; \ alpha \ beta + \ beta \ gamma + \ gamma \ alpha = 0, \; \; \ alpha \ beta \ gamma = 1. [/ math]

Ahora,

[matemáticas] {\ left ({\ alpha + \ beta + \ gamma} \ right) ^ 3} = \ left ({\ alpha + \ beta + \ gamma} \ right) \ left ({{\ alpha ^ 2} + {\ beta ^ 2} + {\ gamma ^ 2} + 2 (\ alpha \ beta + \ alpha \ gamma + \ beta \ gamma)} \ right) = \ left ({\ alpha + \ beta + \ gamma} \ right) \ left ({{\ alpha ^ 2} + {\ beta ^ 2} + {\ gamma ^ 2}} \ right) [/ math].

Esto puede simplificarse convenientemente a

[matemáticas] {\ alpha ^ 3} + {\ beta ^ 3} + {\ gamma ^ 3} + \ beta \ left ({\ alpha \ beta + \ beta \ gamma} \ right) + \ alpha \ left ({ \ alpha \ beta + \ alpha \ gamma} \ right) + \ gamma \ left ({\ alpha \ gamma + \ beta \ gamma} \ right) [/ math]

[matemáticas] = {\ alpha ^ 3} + {\ beta ^ 3} + {\ gamma ^ 3} + \ beta \ left ({- \ gamma \ alpha} \ right) + \ alpha \ left ({- \ beta \ gamma} \ right) + \ gamma \ left ({- \ alpha \ beta} \ right) [/ math]

[math] = {\ alpha ^ 3} + {\ beta ^ 3} + {\ gamma ^ 3} – 3 \ alpha \ beta \ lambda [/ math]

[matemáticas] = {\ alpha ^ 3} + {\ beta ^ 3} + {\ gamma ^ 3} – 3 [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] {\ alpha ^ 3} + {\ beta ^ 3} + {\ gamma ^ 3} = \ frac {{23}} {8} [/ math].

Entonces, la suma requerida es. [Matemáticas] \ frac {{28}} {8} – 1 = \ frac {{15}} {8} [/ matemáticas]

Sé que no podré terminarlo, simplemente escribiré todo lo que pueda.

[matemáticas] f (x) = 2x ^ 4 + 3x ^ 3 + x ^ 2-2x-2 [/ matemáticas]

Deje que las raíces sean [matemáticas] \ omega, \ alpha, \ beta, \ gamma [/ matemáticas]

[matemáticas] \ omega + \ alpha + \ beta + \ gamma = – \ dfrac {3} {2} \ tag {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ omega \ alpha + \ omega \ beta + \ omega \ gamma + \ alpha \ beta + \ alpha \ gamma + \ beta \ gamma = \ dfrac {1} {2} \ tag {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ omega \ alpha \ beta + \ alpha \ beta \ gamma + \ beta \ gamma \ omega + \ alpha \ beta \ gamma = – \ dfrac {-2} {2} = 1 \ tag {3} [/ matemática]

[matemáticas] \ omega \ alpha \ beta \ gamma = \ dfrac {-2} {2} = – 1 \ tag {4} [/ matemáticas]

y ahora hay todo tipo de manipulaciones algebraicas para hacer. Lo volveré a ver después de una hora y media.

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} (a + b + c + d) ^ 2 & = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 + 2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd) \\\ implica \ left (- \ dfrac {3} {2} \ right) ^ 2 & = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 + 2 \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) \\\ implica a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 & = \ dfrac {9} {4} -1 = \ dfrac {5} {4} \ end {split} \ end {ecuación} [/ math]

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} (a + b + c + d) ^ 3 & = a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + d ^ 3 + 6 (abc + bcd + cda + dab) + 3a ^ 2 (b + c + d) + 3b ^ 2 (a + c + d) + 3c ^ 2 (a + b + d) + 3d ^ 2 (a + b + c) \\ & = a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + d ^ 3 + 6 (abc + bcd + cda + dab) + 3a ^ 2 \ left (- \ dfrac {3} {2} -a \ right) + 3b ^ 2 \ left (- \ dfrac {3} {2} -b \ right) + 3c ^ 2 \ left (- \ dfrac {3} {2} -c \ right) + 3d ^ 2 \ left (- \ dfrac { 3} {2} -d \ right) \\ & = a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + d ^ 3 + 6 (abc + bcd + cda + dab) – \ dfrac {9} {2} ( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2) -3 (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + d ^ 3) \\\ implica (a + b + c + d) ^ 3 & = -2 (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + d ^ 3) + 6- \ dfrac {9} {2} \ cdot \ dfrac {5} {4} \\\ implica – \ dfrac {27 } {8} & = – 2 (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + d ^ 3) + 6- \ dfrac {45} {8} \\\ implica – \ dfrac {27} {8} & = -2 (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + d ^ 3) + \ dfrac {3} {8} \\\ implica -30 & = -16 (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + d ^ 3) \\\ implica a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + d ^ 3 & = \ dfrac {15} {8} \ end {split} \ end {ecuación} [/ matemática]