Cómo calcular exponentes complejos

Los exponentes complejos están bien definidos, siempre que su base sea un número real positivo. \ Begin {ecation} a ^ z = \ exp (z \ ln a) \ end {ecation}

Donde [math] \ ln a = \ int \ limits_1 ^ a \ frac {dx} x [/ math], y [math] \ exp \ omega = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ Bigl (1+ \ frac \ omega n \ Bigr) ^ n = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {\ omega ^ k} {k!} [/ math].

Ambas funciones están bien definidas para [math] a [/ math] un real positivo y [math] \ omega [/ math] un número complejo.

Si [math] a [/ math] no es un real positivo (por ejemplo, [math] a = 0 [/ math], [math] a [/ math] un negativo real o [math] a [/ math] complex ), entonces [math] f (w) = \ frac1w [/ math] tiene una singularidad en [math] w = 0 [/ math], lo que significa que [math] \ ln a = \ int \ limits_1 ^ a \ frac { dw} w [/ math] no está definido para [math] a = 0 [/ math], y tiene varios valores para cualquier otro valor complejo de [math] a [/ math] (incluidos los reales positivos inyectados en [math] \ mathbb C [/matemáticas]).

Si [math] \ ln a [/ math] no está definido o tiene varios valores, también lo está [math] \ exp (z \ ln a) = a ^ z [/ math].