El truco consiste en utilizar la información que se encuentra en la introducción de la fracción continua generalizada, junto con la serie Taylor, centrada en 0, de [math] \ arctan {x} [/ math] (ver serie Taylor), que es:
[matemáticas] \ arctan {x} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {2n + 1} [/ matemáticas]
(De hecho, puede notar una conexión entre la serie Taylor y la fracción continua. El patrón de cada uno contiene solo números impares).
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Ahora, para la prueba. Primero, la forma de una fracción continua generalizada (según la página de wikipedia dada anteriormente) es la siguiente:
[matemática] y = b_0 + \ frac {a_1} {b_1 + \ frac {a_2} {b_2 + \ frac {a_3} {b_3 +…}}} [/ matemática]
En nuestra situación, tenemos las siguientes definiciones de [matemáticas] (a_n) [/ matemáticas] y [matemáticas] (b_n) [/ matemáticas]:
[matemáticas] a_1 = x [/ matemáticas],
[matemáticas] a_n = (2n-3) ^ 2 x ^ 2 [/ matemáticas], para [matemáticas] n \ geq 2 [/ matemáticas].
[matemáticas] b_0 = 0 [/ matemáticas],
[matemáticas] b_1 = 1 [/ matemáticas],
[matemáticas] b_n = (2n-1) – (2n-3) x ^ 2 [/ matemáticas], para [matemáticas] n \ geq 2 [/ matemáticas].
Ahora, para probar la convergencia de la fracción continua, necesitamos demostrar que sus convergentes, [math] (y_n) [/ math], convergen a [math] \ arctan {x} [/ math]. Los convergentes de la fracción continua se definen (nuevamente, a través de la página de wikipedia) de la siguiente manera:
[matemáticas] y_n: = \ frac {A_n} {B_n} [/ matemáticas], con:
[matemáticas] A_0: = b_0 [/ matemáticas],
[matemáticas] A_1: = b_1 b_0 + a_1 [/ matemáticas],
[matemáticas] A_n: = b_n A_ {n-1} + a_n A_ {n-2} [/ matemáticas], para [matemáticas] n \ geq 2 [/ matemáticas].
[matemáticas] B_0: = 1 [/ matemáticas],
[matemáticas] B_1: = b_1 [/ matemáticas],
[matemática] B_n: = b_n B_ {n-1} + a_n B_ {n-2} [/ matemática] para [matemática] n \ geq 2 [/ matemática].
En nuestra situación, los primeros términos de [matemáticas] (A_n) [/ matemáticas] y [matemáticas] (B_n) [/ matemáticas] son los siguientes:
[matemáticas] A_0 = 0 [/ matemáticas],
[matemáticas] A_1 = x [/ matemáticas],
[matemáticas] A_2 = (3-x ^ 2) x = -x ^ 3 + 3x [/ matemáticas],
[matemáticas] A_3 = (5-3x ^ 2) (3x-x ^ 3) + 9x ^ 2 x [/ matemáticas]
[matemática] = 3x ^ 5 – 9x ^ 3 – 5x ^ 3 + 15x + 9x ^ 3 [/ matemática]
[matemáticas] = 3x ^ 5 – 5x ^ 3 + 15x [/ matemáticas].
[matemáticas] B_0 = 1 [/ matemáticas],
[matemáticas] B_1 = 1 [/ matemáticas],
[matemáticas] B_2 = 3 – x ^ 2 + x ^ 2 = 3 [/ matemáticas],
[matemáticas] B_3 = (5-3x ^ 2) \ cdot 3 + 9x ^ 2 \ cdot 1 = 15 [/ matemáticas],
[matemáticas] B_4 = (7-5x ^ 2) \ cdot 15 + 25x ^ 2 \ cdot 3 = 105 [/ matemáticas].
Con estos pocos términos, comenzamos a ver surgir patrones, en particular:
[matemáticas] A_ {n + 1} = (2n + 1) A_n + (-1) ^ n B_n x ^ {2n + 1} [/ matemáticas],
[matemáticas] B_ {n + 1} = (2n + 1) B_n [/ matemáticas].
Primero, la prueba de la relación de recurrencia de [matemáticas] (B_n) [/ matemáticas], a través de la inducción. El caso base es fácil de probar. Luego, asumimos que la relación de recurrencia se cumple para [matemáticas] n [/ matemáticas]:
[matemáticas] B_n = (2 (n-1) +1) B_ {n-1} \ Leftrightarrow B_ {n-1} = \ frac {B_n} {2n-1} [/ math].
Con esto, usamos las definiciones anteriores de [matemáticas] (B_n) [/ matemáticas], [matemáticas] (a_n) [/ matemáticas] y [matemáticas] (b_n) [/ matemáticas] para probar la relación de [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas]:
[matemáticas] B_ {n + 1} = b_ {n + 1} B_n + a_ {n + 1} B_ {n-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = ((2n + 1) – (2n-1) x ^ 2) B_n [/ matemáticas]
[matemáticas] + ((2n-1) ^ 2x ^ 2) B_ {n-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = ((2n + 1) – (2n-1) x ^ 2) B_n [/ matemáticas]
[matemáticas] + ((2n-1) ^ 2x ^ 2) \ left (\ frac {B_n} {2n-1} \ right) [/ math]
[matemáticas] = (2n + 1) B_n – (2n-1) x ^ 2 B_n + (2n-1) x ^ 2 B_n [/ matemáticas]
[matemáticas] = (2n + 1) B_n [/ matemáticas].
Y ahora, la prueba de la relación de recurrencia de [matemáticas] (A_n) [/ matemáticas], a través de la inducción. Nuevamente, el caso base es fácil de probar. Del mismo modo, suponemos que la relación de recurrencia se cumple para [matemáticas] n [/ matemáticas]:
[matemáticas] A_n = (2 (n-1) +1) A_ {n-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] + (- 1) ^ {n-1} B_ {n-1} x ^ {2 (n-1) +1} [/ matemáticas]
[matemática] \ Leftrightarrow A_ {n-1} = \ frac {A_n + (-1) ^ n B_ {n-1} x ^ {2n-1}} {2n-1} [/ math].
Con esto, utilizamos las definiciones anteriores de [matemáticas] (A_n) [/ matemáticas], etc., junto con la relación de recurrencia de [matemáticas] (B_n) [/ matemáticas], para probar la relación de [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas]:
[matemáticas] A_ {n + 1} = b_ {n + 1} A_n + a_ {n + 1} A_ {n-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = ((2n + 1) – (2n-1) x ^ 2) A_n [/ matemáticas]
[matemáticas] + ((2n-1) ^ 2 x ^ 2) A_ {n-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = ((2n + 1) – (2n-1) x ^ 2) A_n [/ matemáticas]
[matemáticas] + ((2n-1) ^ 2 x ^ 2) \ frac {A_n + (-1) ^ n B_ {n-1} x ^ {2n-1}} {2n-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = ((2n + 1) – (2n-1) x ^ 2) A_n [/ matemáticas]
[matemáticas] + (2n-1) x ^ 2 (A_n + (-1) ^ n B_ {n-1} x ^ {2n-1}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (2n + 1) A_n + (2n-1) (-1) ^ n B_ {n-1} x ^ {2n + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = (2n + 1) A_n + (-1) ^ n B_n x ^ {2n + 1} [/ matemáticas].
Con estas dos relaciones, obtenemos una definición recursiva para los convergentes, [math] (y_n) [/ math]:
[matemáticas] y_ {n + 1} = \ frac {A_ {n + 1}} {B_ {n + 1}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {(2n + 1) A_n + (-1) ^ n B_n x ^ {2n + 1}} {(2n + 1) B_n} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {A_n} {B_n} + \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {2n + 1} [/ matemáticas]
[matemática] = y_n + \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {2n + 1} [/ matemática].
Dado que [matemáticas] y_0 = \ frac {A_0} {B_0} = 0 [/ matemáticas], no es demasiado difícil de ver:
[matemática] y_ {n + 1} = \ sum_ {k = 0} ^ n \ frac {(- 1) ^ kx ^ {2k + 1}} {2k + 1} [/ matemática].
Este es precisamente el [math] n ^ {\ mathrm {th}} [/ math] polinomio de Taylor de [math] \ arctan {x} [/ math]. Entonces, según el teorema de Taylor, tenemos [math] y_n \ rightarrow \ arctan {x} [/ math], lo que demuestra la convergencia de la fracción continua.
Como nota final, la serie de Taylor dada solo tiene un radio de convergencia de 1, lo que significa que la convergencia de la fracción continua solo se ha demostrado para [matemáticas] x [/ matemáticas] en el disco unitario abierto del plano complejo.
