La declaración del documento no parece particularmente adecuada, pero creo que mi explicación a continuación puede ayudarlo a interpretarla en el contexto del documento.
Con una acción grupal, uno puede dividir el conjunto en el que actúa en órbitas, y tal vez eso es lo que pretende la pregunta.
Primero, ¿qué significa para un grupo actuar en un set? La definición estándar es la siguiente.
- ¿Qué es la cohomología?
- ¿Cómo diseñarías un plan de estudios de matemáticas?
- ¿Cuál es la diferencia entre un número infinito y uno realmente muy grande?
- ¿La geometría algebraica es más difícil que el álgebra y la geometría?
- Deja que G sea un grupo. ¿Probar que Aut (G) es un subgrupo de Perm (G)?
Deje que [math] X [/ math] sea un conjunto y [math] G [/ math] sea un grupo. Decimos que [math] G [/ math] actúa sobre [math] X [/ math] si hay una función [math] action: X \ times G \ to X [/ math] para que se cumpla lo siguiente.
- Para todas [matemáticas] x \ en X [/ matemáticas] y para el elemento de identidad [matemáticas] e [/ matemáticas] de [matemáticas] G [/ matemáticas], tenemos la acción [matemáticas] (x, e) = x [ / matemáticas] y
- para todas [matemáticas] x \ en X [/ matemáticas] y todas [matemáticas] g, h \ en G [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] acción (x, g * h) = acción (acción (x, g) , h) [/ matemáticas].
Aquí, estoy usando [math] * [/ math] para representar el producto del grupo.
Por lo general, reemplazamos el nombre de la función (usé ‘action’ arriba) con un punto simple entre el elemento set y el elemento del grupo que actúa sobre él, de modo que las reglas uno y dos anteriores se vean de la siguiente manera:
- Para todos [math] x \ en X [/ math] y para el elemento de identidad [math] e [/ math] de [math] G [/ math], tenemos [math] x \ cdot e = x [/ math ] y
- para todas [matemáticas] x \ en X [/ matemáticas] y todas [matemáticas] g, h \ en G [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] x \ cdot (g * h) = (x \ cdot g) \ cdot h [/ matemáticas].
Se supone que los grupos recopilan las simetrías de una cosa, por lo que puede pensar que una acción aplica una simetría. Los puntos se mueven bajo esa aplicación de una simetría, que es la “acción” que uno percibe y motiva el nombre de la acción.
Entonces, supongamos que [math] G [/ math] actúa en un conjunto [math] X [/ math]. Entonces la órbita de [math] x [/ math] bajo la acción de [math] G [/ math] se define como el conjunto:
[matemáticas] x \ cdot G: = \ {x \ cdot g \, \ mid \, g \ en G \}. [/ math]
Cada órbita es una clase de equivalencia bajo la relación de equivalencia que dos puntos [matemática] x, y \ en X [/ matemática] están relacionados si hay un elemento de grupo [matemática] g [/ matemática] para que [matemática] x \ cdot g = y [/ matemáticas].
Entonces, es fácil verificar (y también es un buen ejercicio para aclarar cómo usar un lenguaje como ‘relaciones de equivalencia’ y ‘particiones’ la pregunta planteada) que el conjunto de órbitas de los puntos en [matemáticas] X [ / math] forma una partición de [math] X [/ math].
